Purcell 滤波器

想加快色散读出，往往要增大谐振腔线宽；但开放的腔也给量子比特提供更强的辐射逃逸通道。Purcell 滤波器在两个目标之间"开一扇频率选择的门"。

物理图像

在电路量子电动力学（cQED）架构中，量子比特与读出谐振腔处于强耦合，这既使色散读出成为可能，也为比特提供了一条额外的耗散通道：比特激发可以”漏”进腔再辐射到外部环境，导致能量弛豫时间 $T_1$ 下降。这一效应由 E. M. Purcell 于 1946 年描述量子化系统与谐振腔耦合时首次提出，故称 Purcell 效应（Purcell effect），引起的附加弛豫速率称为 Purcell 速率（Purcell rate）。

原则上，减小腔耗散率 ${\kappa }_r$ 或增大比特–腔失谐 $\Delta$ 都能压低 Purcell 速率，但这与快速高保真度读出的要求直接冲突：快读要求腔线宽大（光子进出腔快）、色散频移 $\chi$ 大（信噪比随 $\chi$、$\kappa$ 增长），而这恰恰使 Purcell 弛豫变强。Purcell 滤波器（Purcell filter）正是为打破这一矛盾而引入的附加滤波电路：它让读出谐振频率附近的微波顺利通过到达放大链，同时在比特频率附近制造阻带或阻抗零点，降低比特经读出端口的自发辐射。它不是简单地把整条读出线”关小”——否则读出同样会变慢——而是利用比特与腔之间天然的频率间隔（通常数 GHz）做频率选择性隔离。

理论模型

色散耦合下的 Purcell 耗散

比特与腔处于色散耦合区时，系统由Jaynes–Cummings 哈密顿量描述，可用缀饰态（dressed state）双重态对角化。在单激发子空间，比特激发态对应的本征态为

$$\widetilde{|0,e⟩}\simeq |0,e⟩-\frac{g}{\Delta }|1,g⟩$$

即比特激发态中混入了比例为 $g/\Delta$ 的”单光子 + 比特基态”成分。腔内光子以速率 ${\kappa }_r$ 经耦合电容泄漏到环境，这部分光子成分随之弛豫，等效于比特以 Purcell 速率弛豫：

$${\gamma }^{\mathrm{Purcell}}={\kappa }_r{\left|⟨0,g|a\widetilde{|0,e⟩}\right|}^2\simeq {\kappa }_r\frac{g^2}{{\Delta }^2}.$$

对 transmon 比特，用色散频移 $\chi =g^2\alpha /[\Delta (\Delta +\alpha )]\simeq g^2\alpha /{\Delta }^2$（$\alpha$ 为非谐性）消去 $g$、$\Delta$，并折算到以赫兹计的频率单位，得

$$T_1^{\mathrm{Purcell}}=\frac{2\pi {\Delta }^2}{\kappa g^2}\simeq \frac{2\pi \alpha }{\kappa \chi }.$$

要求 Purcell 弛豫不显著缩短比特寿命（如 $T_1^{\mathrm{Purcell}}⩾2T_1$），即给出读出参数的”Purcell 极限”约束

$$\kappa |\chi |⩽\frac{\pi |\alpha |}{T_1}.$$

没有滤波器时，信噪比随 $\chi$、$\kappa$ 增大，参数优化必然撞上这条边界，有效参数空间被压缩到很小；而合适的 Purcell 滤波器可使该限制不复存在，让读出速度逼近色散极限。

电路表述：由环境阻抗决定的弛豫

更一般地，把比特近似为并联于外部电路的非线性振子（Duffing 谐振子），其经外部电路的弛豫率由比特看到的端口导纳决定：

$${\gamma }^{\mathrm{Purcell}}=\frac{2\pi \mathrm{Re}\left[Y_q({\omega }_q)\right]}{C_q}$$

其中 $C_q$ 为比特自电容，$Y_q$ 为比特节点看向环境的导纳；等价地 $T_1=C_q/\mathrm{Re}[Y({\omega }_q)]$（角频率与频率约定仅差 $2\pi$ 因子）。因此保护比特的问题被转化为微波工程问题：在比特频率处压低 $\mathrm{Re}[Y_q]$。对”比特–腔–滤波器–环境”级联做网络阻抗分析，可得

$${\gamma }^{\mathrm{Purcell}}\simeq {\kappa }_r\frac{g^2}{{\Delta }^2}\frac{\mathrm{Re}\left[Z_{\mathrm{ext}}({\omega }_q)\right]}{\mathrm{Re}\left[Z_{\mathrm{ext}}({\omega }_r)\right]}$$

近似条件为 $g,{\kappa }_r\ll |\Delta |\ll {\omega }_{q,r}$，$Z_{\mathrm{ext}}$ 为腔外部（含滤波器与 $50\Omega$ 环境）的等效阻抗。传统不带滤波器的 cQED 电路中 $\mathrm{Re}[Z_{\mathrm{ext}}({\omega }_q)]=\mathrm{Re}[Z_{\mathrm{ext}}({\omega }_r)]=R_L$，上式退化为 ${\kappa }_r{g}^2/{\Delta }^2$；滤波器的作用就是让阻抗比远小于 1。

开路 $\lambda /4$ 带阻滤波器

一段末端开路、长度 $\lambda /4$ 的无损共面波导传输线，输入阻抗为

$$Z_{\mathrm{in}}(\omega )=i{Z}_F\tan \frac{\pi (\omega -{\omega }_F)}{2{\omega }_F}$$

其中 $Z_F$ 为传输线特征阻抗，${\omega }_F$ 为其谐振频率。谐振点附近它等效于一个串联 $RLC$ 电路（$L=Z_F\pi /4{\omega }_F$）；谐振点处 $Z_{\mathrm{in}}=0$。把它并在腔与环境之间，则 $Z_{\mathrm{ext}}$ 为 $Z_{\mathrm{in}}$ 与 $R_L$ 的并联，在 ${\Delta }_{q,r}={\omega }_{q,r}-{\omega }_F\ll {\omega }_F$ 近似下，滤波器对 Purcell 耗散率的抑制比为

$$\frac{\mathrm{Re}\left[Z_{\mathrm{ext}}({\omega }_r)\right]}{\mathrm{Re}\left[Z_{\mathrm{ext}}({\omega }_q)\right]}\simeq \frac{{\Delta }_r^2}{{\Delta }_q^2}.$$

可见当滤波器频率对准比特频率（${\omega }_F={\omega }_q$，即 ${\Delta }_q=0$）时，$Z_{\mathrm{in}}({\omega }_q)=0$ 把环境阻抗短路，比特频率的光子被完全反射而不泄漏，理想情况下 Purcell 效应被完全抑制。定义抑制比达 100 倍的频率范围为保护带宽，则

$${\Gamma }_{100}=\frac{{\Delta }_r}{5};$$

以 ${\omega }_r/2\pi =7\mathrm{GHz}$、${\omega }_F/2\pi =5\mathrm{GHz}$ 为例，${\Gamma }_{100}=400\mathrm{MHz}$，足以覆盖可调耦合架构中比特的频率调节范围。滤波器自身与环境的耦合品质因数 $Q_F=Z_F/R_L$：减小特征阻抗（共面波导中即增大中央导带线宽比）可降低 $Q_F$、增大带宽，也可并联多个滤波器进一步展宽保护带。

对读出谐振腔的反作用

滤波器不能只为比特服务，还必须不拖慢读出。理想情形 ${\Delta }_r\sim {\omega }_F$ 时，滤波器在腔频处阻抗趋于无穷大（相当于开路），对谐振腔几乎无影响。另一常见情形 ${\Delta }_r\ll {\omega }_F$ 时，滤波器在腔频附近等效为一个电感 $L_F$，网络变换后腔的等效耦合品质因数变为

$$Q_{\mathrm{eff}}=Q_C{\left(\frac{R_L}{Z_F}\right)}^2{\left(\frac{2{\omega }_F}{\pi {\Delta }_F}\right)}^2$$

其中 $Q_C$ 为无滤波器时腔的耦合 $Q$ 值，${\Delta }_F={\omega }_r-{\omega }_F$；等效耗散率 ${\kappa }_{\mathrm{eff}}={\omega }_r/Q_{\mathrm{eff}}$。设计腔的外部耗散率本身常用公式 ${\kappa }_r={\omega }_r^3{C}_k^2{R}_L{Z}_r$（$C_k$ 为腔与读出线的耦合电容，$Z_r$ 为腔特征阻抗）：谐振频率 7 GHz、$C_k=10\mathrm{fF}$ 对应耗散率约 3.4 MHz。对带通型滤波器（滤波器作为腔与环境之间的谐振模式），腔的有效线宽为

$${\kappa }_{\mathrm{eff}}=\frac{4Q_p{J}^2}{{\omega }_p+4{\delta }_p^2{Q}_p^2/{\omega }_p}$$

其中 $J$ 为滤波器与读取腔的耦合强度，${\omega }_p$、$Q_p$ 为滤波器的设计频率与品质因数，${\delta }_p$ 为两者的频率失谐。这使得读取腔可以采用更大的外部线宽而不牺牲对比特的保护——典型读取腔 ${\kappa }_{\mathrm{ext}}\sim 2\pi \times 3\mathrm{MHz}$，在 Purcell 滤波器贡献下可提升至 $\sim 2\pi \times 30\mathrm{MHz}$，腔与信号线的有效能量交换率提高约十倍。

参数与量级

量	典型值	说明
读出腔频率 ${\omega }_r/2\pi$	约 7 GHz（如 7.316 GHz）	仿真设计
比特频率 ${\omega }_q/2\pi$	4–5 GHz（如 4.6 GHz）	与滤波器中心频率 4.65 GHz 对准
腔耦合电容 $C_k$	约 10 fF（仿真取 12.9 fF）	对应腔耗散率数 MHz；拟合 $Q_C\approx 2275$
比特–腔耦合电容 $C_g$	约 12 fF	仿真参数
Purcell 弛豫率 ${\gamma }_{\kappa }$	$\sim 2\pi \times 10\mathrm{kHz}$（$\kappa (g/\Delta {)}^2$ 量级）	对 transmon 的估计
保护带宽 ${\Gamma }_{100}$	400 MHz（${\omega }_F/2\pi =5$ GHz 设计）；毫秒级 $T_1$ 保护带宽可达 1 GHz
隔离度	$>20\mathrm{dB}$（带宽 $>1$ GHz，）；30 dB（阻抗变换线式，）	实测
插入损耗	带通腔式 $<0.002\mathrm{dB}$（仿真）；阻抗变换线式 $<3\mathrm{dB}$（实测，最好近似无损）

实验特征与验证

Purcell 滤波器的仿真验证不能只算 $S$ 参数： 的做法是在电磁仿真中给比特节点设一个虚拟端口，断开后由该端口的反射系数 $S_{33}$ 提取比特看向环境的输入阻抗，代入 $T_1=1/{\gamma }^{\mathrm{Purcell}}$ 直接得到”仅考虑 Purcell 耗散”的比特寿命谱，从而把保护效果量化为 $T_1$ 上限随频率的曲线。仿真中发现两个需要规避的效应：滤波器与读出总线交点处特征阻抗失配会产生驻波，在 $S_{21}$ 谱上形成透射峰，若落在比特频段反而会增强 Purcell 效应，需通过选择节点间距（如 5.6–7.6 mm）把这些峰移出比特频段；滤波器中央导带线宽 $W$ 增大则保护带宽增大，$W=20\mu \mathrm{m}$、两滤波器长度差 $\delta l=0.5\mathrm{mm}$ 时毫秒保护带宽达 1 GHz，但 $|\delta l|$ 过大会显著降低 $T_1$ 峰值，故实用设计常取 $\delta l=0$。

实测方面，文献中的开路 $\lambda /4$ 带阻滤波器芯片（一条滤波器供线耦合 5 个读取谐振腔）第一轮测试 $S_{21}$ 谱紊乱，归因于滤波器与总线交点处电流大、磁场能量密度高，在地平面引起局域环流串扰；在附近地平面做密集跨结构引线键合（wire-bonding）后，测得比特频段与腔频段之间隔离度大于 20 dB 的带宽超过 1 GHz，与仿真相符。文献给出了两种替代实现：五段式阻抗变换线滤波器，单独成芯片接在量子芯片各信号通道入口，实测 5.8–6.8 GHz 导通带（放读取腔频率）与以 4.2 GHz 为中心隔离带之间隔离度达 30 dB、插损 $<3$ dB 且直流直通（可兼作 flux 控制线的低通滤波）；以及可与比特共芯片集成的半波长谐振腔式滤波器，实现 6.58 GHz 导通带、400 MHz 的 3 dB 带宽、5–6 GHz 内隔离度 $>20$ dB。配合屏蔽与滤波环境改造，transmon 平均 $T_1$ 从约 $0.6\mu \mathrm{s}$ 提高到 $5\mu \mathrm{s}$。此外，为每个读取腔配置独立的 Purcell 滤波器还能抑制多比特频分复用读取中的读取串扰。

带通与带阻的比较

文献中的 Purcell 滤波器多属带通型（短路 $\lambda /4$ 或 $\lambda /2$ 谐振器作为通带）：对比特频率的保护范围更大，但腔频附近通带一般只有约 200 MHz，限制了可频分复用挂载的读取腔数目；且输入端的串联电容使腔泄漏的信号 99.9% 从输出端流出（对称结构则有一半信号流回输入端而损失，降低测量量子效率）。文献提出的开路 $\lambda /4$ 带阻型方案对比特的保护范围相对较小，但腔频通带很宽、阻带内 Purcell 耗散率更低，适合比特频率调节范围有限（固定耦合样品约 1 GHz 以内、可调耦合样品仅数百 MHz）而需要大复用规模的架构；在该论文比较分析的 8 种等效电路设计中，还可以在带通方案的基础上于输入/输出端叠加带阻枝节，或在带阻方案上并联多个滤波器，以兼顾保护带宽、通带宽度与信号方向性。

与其他概念的关系

• Purcell 效应是色散读出的固有代价：色散频移 $\chi$ 与腔线宽 $\kappa$ 同时决定读出速度与 Purcell 弛豫，滤波器解除了二者的绑定。
• 滤波器依托Jaynes–Cummings 模型的缀饰态图像：被抑制的正是缀饰态中 $g/\Delta$ 比例的光子成分经腔的泄漏。
• 与低噪声参量放大互补：前者允许更开放、更快的读出腔，后者减少达到目标信噪比所需的积分时间；两者结合才能把读出推向快速高保真极限。
• 在频分复用多比特读取中，每腔独立的滤波器同时是抑制读取串扰的手段。
• 滤波器保护的最终指标是比特的 $T_1$，其完整预算应包含芯片上全部外部阻抗的贡献并实测验证，而非只看理想 $S$ 参数；在半导体量子点–腔杂化体系中，弱杂化区的谱线展宽现象同样源于 Purcell 效应。