真空 Rabi 劈裂

即使腔中没有经典驱动光子，量子真空涨落也能与二能级相干地交换激发：共振时原本交叉的腔与比特谱线分裂成上、下两条杂化支，间距 2g 即"真空 Rabi 劈裂"——它是强耦合最直接的频域证据。

物理图像与定义

真空 Rabi 劈裂（vacuum Rabi splitting）是把Jaynes–Cummings 模型放在频域看的结果。腔内”零光子”状态的电磁场仍有量子涨落（零点能（zero-point fluctuation）），它的真空分量 $⟨a⟩=0$、$⟨a{a}^{†}⟩\ne 0$ 仍能与紧邻的二能级系统发生能量交换。当二能级跃迁频率 ${\omega }_q$ 与腔模频率 ${\omega }_r$ 之差 $\Delta ={\omega }_q-{\omega }_r$ 调至共振附近，腔–比特不再各自独立：本征模式变成两条极化激元（polariton）型的杂化支——上支 $|+,1⟩$、下支 $|-,1⟩$，它们之间的最小能级差是 $2\hslash g$，其中 $g$ 是单光子耦合强度。在透射或反射谱中扫过这条劈裂正是实验上判定系统进入强耦合的最常用判据。

真空 Rabi 振荡（vacuum Rabi oscillation）是真空 Rabi 劈裂在时域的对偶现象：若初态为 $|e,0⟩$，系统将以角频率 $2g$ 在 $|e,0⟩\leftrightarrow |g,1⟩$ 之间往返；该振荡首先在 1996 年里德堡原子（Rydberg atom）实验中观测到。

理论模型：从 Rabi 模型到 JC 哈密顿量

出发点是与单模腔电偶极耦合的二能级系统，由量子 Rabi 模型描述：

$$H_{\mathrm{Rabi}}/\hslash ={\omega }_r{a}^{†}a+\frac{{\omega }_q}{2}{\sigma }_z+g\left(a^{†}+a\right)\left({\sigma }_{+}+{\sigma }_{-}\right).$$

在电路量子电动力学（cQED）常见的参数范围 $g\ll {\omega }_q,{\omega }_r$ 内，反旋项 $a^{†}{\sigma }_{+}+a{\sigma }_{-}$ 相对”正频项”以 ${\omega }_q+{\omega }_r$ 量级的频率快速振荡、平均为零，可被略去，得到 JC 哈密顿量

$$H_{\mathrm{JC}}/\hslash ={\omega }_r{a}^{†}a+\frac{{\omega }_q}{2}{\sigma }_z+g\left(a^{†}{\sigma }_{-}+a{\sigma }_{+}\right).$$

由于第三项只交换激发数（总激发数守恒），Hilbert 空间按激发数 $n$ 分解为相互独立的二维子空间 $\{|g,n⟩,|e,n-1⟩\}$。在该基下把 JC 哈密顿量逐块对角化，得到缀饰态（dressed states）

$$\begin{array}{rl}|+,n⟩& =\sin {\varphi }_n|g,n⟩+\cos {\varphi }_n|e,n-1⟩,\\ |-,n⟩& =\cos {\varphi }_n|g,n⟩-\sin {\varphi }_n|e,n-1⟩\end{array}$$

混合角 ${\varphi }_n=\frac{1}{2}\arctan \left(2g\sqrt{n}/\Delta \right)$，相应本征能量

$$E_{g,0}=-\frac{\hslash \Delta }{2},E_{\pm ,n}=n\hslash {\omega }_r\pm \frac{\hslash }{2}\sqrt{4n{g}^2+{\Delta }^2}.$$

将本征能量对激发数 $n$ 排列即得 JC 阶梯（Jaynes–Cummings ladder），每层 $n$ 上两支杂化态的能量差为

$$\Delta E_n=\hslash \sqrt{4n{g}^2+{\Delta }^2}.$$

在共振极限 $\Delta =0$ 下，缀饰态是最大混合态 $|\pm ,n⟩=(|g,n⟩\pm |e,n-1⟩)/\sqrt{2}$，能级劈裂 $\Delta E_n=2\hslash g\sqrt{n}$，按 $\sqrt{n}$ 增长——这一非线性标度是 JC 阶梯区别于两个经典耦合振子的标志性量子特征。

共振极限：避免交叉与 2g 劈裂

由上式可得单激发层（$n=1$）的极化激元频率

$${\omega }_{\pm }=\frac{{\omega }_q+{\omega }_r}{2}\pm \sqrt{g^2+\frac{{\Delta }^2}{4}}.$$

这是真空 Rabi 劈裂的核心公式：

• $\Delta =0$ 时，${\omega }_{\pm }={\omega }_r\pm g$，两支最小间距为 $\hslash \cdot 2g$；固定 ${\omega }_r$ 扫描 ${\omega }_q$ 穿过共振，原本应”交叉”的两条谱线变为典型量子力学的避免交叉（avoided crossing）图像，最小间距即真空 Rabi 劈裂。
• $|\Delta |\gg g$ 时，$\sqrt{g^2+{\Delta }^2/4}\approx |\Delta |/2+g^2/|\Delta |$，上、下支分别趋近于 ${\omega }_q$、${\omega }_r$，杂化模式几乎完全恢复”比特样”和”腔样”。
• 在 $g<|\Delta |<10g$ 的准色散区，${\omega }_{\pm }$ 仍清晰可分但已不对称，振幅/相位响应随失谐交换，劈裂大小的拟合仍能给出可靠的 $g$，但必须同时拟合线宽与可见度。

真空 Rabi 劈裂之所以常被用作强耦合判据，是因为它由”系统本征值”决定，与驱动功率、温度占据无直接关联——只要能谱线可分辨，就必然 $g>\kappa /2,\gamma /2$（详见下文）。

远离共振：色散极限与缀饰态的振幅/相位

把 JC 哈密顿量按 $g/|\Delta |$ 做二阶微扰（Schrieffer–Wolff 变换）得到色散哈密顿量

$$H_{\mathrm{disp}}/\hslash \approx \left({\omega }_r+\frac{g^2}{\Delta }{\sigma }_z\right)a^{†}a+\frac{1}{2}\left({\omega }_q+\frac{g^2}{\Delta }\right){\sigma }_z.$$

从腔的角度看，腔频依比特态移动 $\pm g^2/\Delta \equiv \pm \chi$；从比特角度看，比特频率获得 $(2n+1)g^2/\Delta$ 的修正，其中 $2\chi n$ 与腔内光子数 $n$ 成正比、称为交流斯塔克频移（ac Stark shift），与光子数无关的 $\chi$ 来自真空涨落、称为兰姆频移（Lamb shift）。这正是色散读出与光子数标定的理论基础。

把避免交叉的数据放进 $g^2/({\Delta }^2+{\gamma }^2)$ 的形式，可同时拟合两条谱线的频率移动 $\delta {\omega }_{\pm }$ 与线宽展宽 $\delta {\kappa }_{\pm }$：

$${\omega }_r^{\prime }={\omega }_r-\frac{g^2\Delta }{{\Delta }^2+{\gamma }^2},{\kappa }^{\prime }=\kappa +\frac{2g^2\gamma }{{\Delta }^2+{\gamma }^2}.$$

上式表明：色散区虚部可忽略、$\delta {\omega }_r\approx g^2/\Delta$，近共振区实部与虚部同时变化、谱线既分裂又展宽。这是判断一个谱线移动到底是强耦合还是单纯色散响应的关键差异。

强耦合判据与合作因子

“看到 2g 劈裂”等同于强耦合成立的充分证据。设 $g$ 为相干耦合速率，$\kappa$ 为腔的总衰减率（$\kappa ={\kappa }_i+{\kappa }_e$，分别来自内禀损耗与外端口耦合），$\gamma ={\gamma }_1/2+{\gamma }_{\varphi }$ 为比特的退相干率（${\gamma }_1$ 是能量弛豫、${\gamma }_{\varphi }$ 是纯退相位）。两个常见刻度：

• 强弱耦合边界：$g>\kappa ,\gamma$，等价于两支极化激元谱线能彼此分辨。
• 合作因子（cooperativity）：$C=2g^2/(\kappa \gamma )$（或按某些教材定义为 $C=4g^2/(\kappa \gamma )$）；$C>1$ 表示相干交换速率超过损耗速率一次以上，但能否分辨谱线还需结合 $\kappa /2$、$\gamma$ 与拟合模型共同判定。

在本站论及的强耦合实验中给出双量子点电荷比特与 NbTiN 腔的全局耦合 $2g_{0,1}/2\pi \approx 74\mathrm{MHz}$、$2g_{0,2}/2\pi \approx 119\mathrm{MHz}$；也有实验报告单比特 $g/2\pi =81\mathrm{MHz}$、退相干 $\gamma /2\pi =65\mathrm{MHz}$；另有工作在 Si/SiGe 三量子点中获得电荷比特 $g_0/2\pi =175\mathrm{MHz}$、${\gamma }_c/2\pi =99\mathrm{MHz}$，翻转模式自旋比特 $2g_s/2\pi =43.5\mathrm{MHz}$、${\gamma }_s/2\pi =4.6\mathrm{MHz}$，所有这些系统都满足 $g>\kappa ,\gamma$，因此真空 Rabi 劈裂可以直接在腔反射/透射谱上读出。

实验特征与参数提取

频域特征

把比特工作点固定在失谐可调的状态（典型方法是把双量子点的失谐量 $\epsilon$ 与隧穿耦合 $2t_c$ 调至 ${\omega }_q=\sqrt{{\epsilon }^2+(2t_c{)}^2}$ 接近 ${\omega }_r$），再扫描腔的探测频率 $f_p$：

• 共振点附近一条谱线分裂为两条，对称地落在 ${\omega }_r$ 两侧；
• 劈裂幅度 $\approx 2g$；拟合两条谱线的中点随失谐的移动可交叉验证 ${\omega }_r$ 与 ${\omega }_q$；
• 共振点处两条谱线的展宽几乎相同，等于 $(\kappa +\gamma )/2$ 的某种平均，是简化判据 $g>\kappa ,\gamma$ 的直接证据。

拟合方法

若直接拟合避免交叉图，可将每条谱线分别用洛伦兹（Lorentzian）线型处理，提取每个失谐点上的中心频率 ${\omega }_{\pm }^{\text{*}}$ 与展宽 ${\kappa }_{\pm }^{\text{*}}$，然后用上面的极化激元频率公式与展宽公式同时拟合得到 $g$、$\gamma$ 与 ${\omega }_r$。当 $2g$ 与线宽可比、谱线明显不对称时，必须使用包含 $g\chi$ 的输入–输出反射率公式

$$S_{11}=1+\frac{{\kappa }_i}{i({\omega }_r-\omega )+g\chi -i\kappa /2},\chi =\frac{g}{i({\omega }_a-{\omega }_p)+\gamma }$$

整体拟合；若 $g$ 与 $\gamma$ 之间存在强相关，应先通过其他独立手段（如双色调制测出 ${\omega }_a$、$T_1$、$T_{\varphi }$，或光子辅助隧穿测出 lever arm $\alpha$）固定部分参数，再做整体拟合。

时域对应

把比特从 $|g,0⟩$ 出发、用 $\pi$ 脉冲激发到 $|e,0⟩$，探测腔透射信号将呈现 $2g$ 振荡。这一时域上的真空 Rabi 振荡是频域劈裂的傅里叶对偶。在电荷比特体系中，振荡一般在数十纳秒内可见；自旋比特 $g$ 较小（典型 MHz 量级），振荡周期延伸至百纳秒以上，需要扣除 $T_2^{\text{*}}$ 影响才能可靠提取。

可靠性边界

$2g$ 小于腔和比特的有效线宽时，劈裂无法分辨；反之，两个无关模式或经典寄生共振也可能产生避免交叉形谱线，因此不能仅凭”看到两条谱线”判定强耦合。可靠判据通常包含：

1. 同时拟合频率、线宽和可见度，三者一致地指向同一组 $g$、$\kappa$、$\gamma$；
2. 在大幅调节驱动功率、温度、磁场时，$2g$ 数值基本不变，仅线宽变化；
3. 失谐扫描下两条谱线的形状与 JC 模型的预言一致（包括混合角 ${\varphi }_n$ 随 $\Delta$ 的非平凡调制）；
4. 与目标量子点的参数（隧穿耦合 $2t_c$、杠杆臂 $\alpha$、阻抗 $Z_r$）相互自洽。

多比特与集体响应：增强真空 Rabi 劈裂

把多个量子比特同时与同一腔模耦合，JC 模型推广为 Tavis–Cummings 哈密顿量

$${\hat{H}}_{\mathrm{TC}}/\hslash ={\omega }_r{a}^{†}a+\sum _k\frac{{\omega }_{a,k}}{2}{\hat{\sigma }}_{z,k}+\sum _k{g}_k\left(a^{†}{\hat{\sigma }}_{-,k}+a{\hat{\sigma }}_{+,k}\right).$$

两比特同时与腔共振（${\omega }_{a,1}={\omega }_{a,2}={\omega }_r$）时，单光子子空间变为三维，本征态出现一个暗态（dark state）

$$|0{⟩}_C=\frac{1}{g_C}\left(g_{c,1}|ge,0⟩-g_{c,2}|eg,0⟩\right),g_C=\sqrt{g_{c,1}^2+g_{c,2}^2}$$

它不含光子态成分，无法通过探测微波从基态 $|gg,0⟩$ 跃迁，因此腔频谱上看不到中间那条线，只剩 $|+,1⟩$、$|-,1⟩$ 两个相距 $2\hslash g_C$ 的本征态——增强真空 Rabi 劈裂（enhanced vacuum Rabi splitting）。

在 SQUID 阵列腔中测得单比特 $g_1/2\pi =81\mathrm{MHz}$、$g_2/2\pi =80\mathrm{MHz}$，两者同时共振时 $2g_{\mathrm{eff}}/2\pi =2\times 112\mathrm{MHz}$，与 $\sqrt{g_1^2+g_2^2}\approx 113\mathrm{MHz}$ 的理论值一致。 在 NbTiN 反射腔中测得两比特 $2g_C/2\pi \approx 177\mathrm{MHz}$，但因每个比特到腔的耦合强度有限、比特退相干又较快，谱线宽度已接近 $2g$，因此只能定性确认集体增强，无法在此基础上进一步实现两比特门。

推广到 $N$ 个比特时，集体耦合强度 $g_C=\sqrt{{\sum }_k{g}_k^2}$，相应地在 $|+,1⟩$、$|-,1⟩$ 之外出现 $N-1$ 个暗态；当各 $g_k$、${\omega }_{a,k}$ 出现非均匀展宽时，多比特关联谱将退化为多个分立共振与展宽的叠加，这是多比特扩展的核心约束之一。

与其他概念的关系

• Jaynes–Cummings 模型：真空 Rabi 劈裂是 JC 阶梯第 $n=1$ 层的频域表现；强耦合极限对应完全劈裂（${\omega }_{\pm }={\omega }_r\pm g$），色散极限对应二阶微扰给出的色散哈密顿量。
• 强耦合判据：真空 Rabi 劈裂是强耦合的充分频域证据；合作因子 $C=2g^2/(\kappa \gamma )$ 衡量系统”相干交换相对损耗”的强度，但能否分辨谱线还依赖线宽定义与拟合模型。
• 电荷–光子耦合：双量子点电荷比特与腔的电偶极耦合 $g_c=g_0\sin \theta$（$\theta$ 为混合角），真空 Rabi 劈裂由此变成在 $\epsilon =0$、$2t_c={\omega }_r$ 时最明显的实验特征。
• 自旋–光子耦合：自旋比特与微波腔的磁耦合极弱，借助自旋–轨道耦合或微磁体梯度场把电荷成分”借”给自旋，再现自旋真空 Rabi 劈裂（典型 $2g_s/2\pi$ 数 MHz 至数十 MHz）。
• 高阻抗谐振腔：把 $Z_r$ 提高到 $\mathrm{k\Omega }$ 量级，可显著增大全局耦合 $g_0$；本站多次测得的 74、81、119、175 MHz 量级都来自 NbTiN 纳米线腔或 SQUID 阵列腔。
• 色散读出：进入色散区 $|\Delta |>10g$ 后，避免交叉让位于腔频移动 $\pm g^2/\Delta$，劈裂消失，但比特态信息保留在腔响应里。
• 腔介导远程耦合：多比特同时处于强耦合区时，真空 Rabi 劈裂被增强为 $2g_C$；若仅一个比特处于色散区，则腔介导有效交换为 $\sim g_1{g}_2/\Delta$。
• Rabi 振荡：真空 Rabi 振荡是频域真空 Rabi 劈裂的傅里叶对偶；驱动 Rabi 振荡（${\Omega }_R$）则属于外部驱动项，不属于真空场物理。