误差预算与真实建模

误差预算的本质是一本"分项账本"：中间态散射、里德堡衰减（含黑体辐射）、Doppler 与光子反冲、激光相位/强度噪声各欠多少，决定了该优化波形、改进激光还是先降温——账本不清，一切"鲁棒"与"最优"都是盲目的。

问题背景

一个里德堡门的名义保真度可以在理想模型里算到小数点后很多位，但实验能兑现多少，取决于真实物理与真实控制链路。误差预算（error budgeting）的做法是：把每一类误差机制写成独立的模型，先单独算它们的贡献，再检验”分项相加 $\approx$ 全模型仿真”是否成立，最后按贡献排序决定改进次序。三个纪律必须遵守（它们来自对多份误差模型的系统梳理）：

1. 分项可加需要条件：各分项只有在弱误差、相关性可忽略且无重复计数时才能近似相加；一次 Bell 态输出保真度、Haar 平均门保真度、随机基准结果与后选择保真度不能直接互相等同。
2. 门时长与占据时间分开记账：里德堡衰减误差 $\propto$ 门时长，而散射与噪声型误差另有自己的标度，只报一个”更快的门”无助于归因。
3. 模型边界要写明：例如非厄米衰减项只描述离开模拟空间的损失，不能描述衰减回驱动流形的回流；准静态 ensemble 误差与带噪声轨迹、响应函数三种误差模型不可混用。

下面按”里德堡态自身—原子运动—激光链路—旁观原子”的次序给出各分项的建模与量化。

理论模型

里德堡寿命与黑体辐射

里德堡态 $nS/nP/nD$ 的有效寿命由自发辐射与黑体辐射（BBR）两部分构成。Beterov 等的准经典计算给出 77/300/600 K 下碱金属里德堡态的 BBR 退布居速率，其解析拟合式为（$T$ 取开尔文，$n_{\mathrm{eff}}$ 为有效主量子数）

$${\Gamma }_{\mathrm{BBR}}=\frac{2.14\times 10^{10}}{n_{\mathrm{eff}}^5\left[\exp \right(\frac{315780}{n_{\mathrm{eff}}^{3}T})-1]}{\mathrm{s}}^{-1},$$

辐射寿命本身按 $n^3$ 标度；在室温下 BBR 通道不可忽略——对典型 $n\sim 70$ 的 Rb 态，${\Gamma }_{\mathrm{BBR}}$ 约 $4\times 10^3{\mathrm{s}}^{-1}$，把有效寿命压到 $10^2\mu \mathrm{s}$ 量级 Beterov 2009，这正是里德堡原子与里德堡态中”$n$ 越大相互作用越强、但寿命越短”权衡的定量来源。给定门协议后，衰减对门保真度的贡献由里德堡占据时间决定；对 Bell 态保真度（四个计算基态等权进入），NA072 的 Sr-88 分析给出干净的一阶公式

$$1-F_d=\frac{3}{4}{T}_r\gamma ,$$

其中 $T_r$ 是沿优化脉冲的平均里德堡占据时间、$\gamma$ 为总衰减率 Pagano 2022。该线性律是STIRAP 与暗态门中 $E\propto \Gamma /B$ 标度与鲁棒最优控制中”占据时间最小化”目标的公共内核。

Doppler 失谐：热运动变成随机失谐

双光子激发的有效波矢 ${\vec{k}}_{\mathrm{eff}}={\vec{k}}_r+{\vec{k}}_b$ 使原子以速度 $\vec{v}$ 运动时感受到失谐 $\delta \omega ={\vec{k}}_{\mathrm{eff}}\cdot \vec{v}$。温度 $T$ 给出一维均方根速度 $v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{k_{B}T/m}$，于是每次实验采样到一个高斯分布的随机失谐，标准差

$${\sigma }_{\delta }=k_{\mathrm{eff}}{v}_{\mathrm{rms}}.$$

de Léséleuc 等的数值：两束正交光（$\lambda =795\mathrm{nm}$ 双光子方案）的 $k_{\mathrm{eff}}\simeq 1.5\times 10^7{\mathrm{m}}^{-1}$，$T=30\mu \mathrm{K}$ 时 ${\sigma }_{\delta }\sim 2\pi \times 120$ kHz；Rabi 频率低于 $1$ MHz 时 Doppler 成为 Rabi 振荡衰减的主导来源，高于 $1$ MHz 后几乎不可见 de Léséleuc 2018。把它当作准静态失谐采样，即可将 Doppler 并入 ensemble 鲁棒优化（鲁棒最优控制）；Li 等进一步提出”擦除”策略——用离共振场把受保护的里德堡态缀饰到辅助态，制造相反且增强的 Doppler 敏感度以对消失谐，使 Rb/Cs 的 CNOT 门在任意温度下模型保真度 $F\approx 0.9906$（基态辅助态方案在 $50\mu$K 下 $F\approx 0.9965$）Li 2025。

光子反冲与激光聚焦：运动纠缠账本

光子吸收与受激辐射的动量踢 $\hslash k$ 使内态与质心运动纠缠。Robicheaux、Graham 与 Saffman 把这类失谐源分成两支并给出解析标度：反冲退相干对动量踢与脉冲间隔均为二次、对温度线性、对阱频的二次与四次幂成反比（热原子极限下阱频依赖消失）；聚焦误差则相反地随横向阱频升高而减小 Robicheaux 2021。NA072 用一维谐振子模型得到同类的热平均反冲公式，其温度依赖可用”光子反冲带来的附加 Doppler 展宽”解释 Pagano 2022。数值上：Sr 单光子激发（$3P_0\to 3S$，$317$ nm）在 $0.8\mu$K、约 $100$ ns 脉冲下反冲失谐贡献 ${ϵ}^{(1)}\simeq 1.5\times 10^{-4}$，脉冲间隔拉长到 $300$ ns 后升至 $1.3\times 10^{-3}$；$2\mu$K 原子配 $50$ kHz 魔陷阱时反冲+聚焦总失谐可做到 $F\simeq 0.999$ Robicheaux 2021。这类运动误差是原子损失与容损失架构与碱土原子与核自旋量子比特平台选择能级与阱频的输入。

激光相位与强度噪声：谱域记账

技术噪声的正确记法在频域。在线性响应近似下，Tsai 等的保真度响应理论（FRT）给出

$$1-F\simeq \sum _j{\int }_0^{\infty }{S}_j(f)I_j(f)\mathrm{d}f,$$

$S_j(f)$ 是实测的噪声功率谱（单边），$I_j(f)$ 是门协议对第 $j$ 个噪声算符的响应函数 Tsai 2025。这把”改波形”（改 $I_j$）与”改激光”（改 $S_j$）两条改进路线解耦。Day 等对激光噪声给出更细的判据：频率噪声是首要关切，其谱结构（而非只有幅度）决定可达保真度，稳定化带宽的需求可比”压窄线宽”所需高出数量级；他们提出 $\chi$-分离线作为激光源是否已优化到自发辐射底线之下的判据，而散粒噪声限制的强度噪声在常见参数下始终低于该底线 Day 2022。注意各噪声源互不相关时上式才可直接求和；双光子方案中同一束光的幅度变化会同时进入有效 Rabi 频率、AC Stark 移与中间态散射，三者强相关。

中间态散射与旁观原子

双光子方案里中间态布居积分 $\times$ 其散射率给出散射误差，是单光子失谐、光功率与脉冲形状的联合结果（de Léséleuc 方案中中间态线宽 $\Gamma \equiv 2\pi \times 6$ MHz，是失谐选取的硬约束 de Léséleuc 2018）。阵列层面还有旁观原子串扰：泄漏光强之比为 $ϵ$ 时旁观原子的 Rabi 频率是 $\sqrt{ϵ}\Omega$（而非 $ϵ\Omega$），微扰给出旁观激发 $p_{\mathrm{exc}}=aϵ+O({ϵ}^2)$，可用双脉冲相位跳变抵消一阶项 Warttmann 2026——这是并行纠缠门的误差预算中必须显式列出的一行。

方法与实现

• 逐项归因的完整范例（Sr-88）：NA072 对优化后的 Sr CZ 门给出分项账本——Rydberg 衰减 $0.092\%$、光子反冲 $0.008\%$（1.5 μK 时 $0.011\%$）、范德瓦尔斯力 $0.001\%$，分项求和 $0.101\%$ 与含全部误差源的全哈密顿量仿真（$0.101\%$）符合极好；衰减是主导项，反冲与力项不是 Pagano 2022。这是”先分项、后全模型、再交叉验证”的标准流程。
• 实验不完美的清单式分析（Rb 阵列）：de Léséleuc 等逐项建模并实验验证了 Rabi 振荡 damping 的来源——Doppler（${\sigma }_{\delta }\sim 2\pi \times 120$ kHz @ 30 μK）、中间态散射、激光相位噪声、原子位置/光强起伏，以及读出误差（$|r⟩$ 原子的重捕获时间 $t_{\mathrm{recap}}=10\mu s$，假负错误率随 $n^{-3}$ 标度，$n>50$ 时 $<0.05$；假正 $<2\%$）de Léséleuc 2018。
• 运动误差的极端情形：Förster 绝热通道类门在放宽阻塞要求的距离上运行，其对相互作用涨落的敏感性可用双绝热通道压低；Stark 调谐方案模型中布居转移误差低于 $3\times 10^{-5}$，Bell 态保真度约 $97.7\%$ Beterov 2016 Beterov 2018。
• 从预算回到优化：把各分项按谱域并入目标泛函（鲁棒最优控制），或交由闭环标定吸收慢漂移（门标定闭环）；预算的排序直接决定这些后续步骤值不值得做——Tsai 等的实验里，正是响应理论指认了主导频段，才使 $0.9971(5)$ 的对称输入门保真度成为可能 Tsai 2025。

误差预算分解图：Sr-88 CZ 门各分项（Rydberg 衰减/反冲/vdW 力）柱状图与全模型仿真对照（图源：Pagano 2022 Fig. 5）

参数与量级

量	典型值	来源
BBR 退布居速率（公式）	${\Gamma }_{\mathrm{BBR}}=2.14\times 10^{10}/(n_{\mathrm{eff}}^5[\exp (315780/n_{\mathrm{eff}}^{3}T)-1]){\mathrm{s}}^{-1}$	Beterov 2009
衰减对 Bell 态保真度	$1-F_d=\frac{3}{4}{T}_r\gamma$（线性律）	Pagano 2022
Sr-88 CZ 分项（Bell 态）	衰减 $0.092\%$；反冲 $0.008\%$；vdW 力 $0.001\%$；和 $=$ 全模型 $0.101\%$	Pagano 2022
Doppler 失谐宽度	$k_{\mathrm{eff}}{v}_{\mathrm{rms}}\sim 2\pi \times 120$ kHz（30 μK，正交双光子）	de Léséleuc 2018
反冲失谐（Sr 单光子）	${ϵ}^{(1)}\simeq 1.5\times 10^{-4}$（0.8 μK，~100 ns 脉冲）	Robicheaux 2021
中间态线宽（Rb 5P）	$\Gamma \equiv 2\pi \times 6$ MHz	de Léséleuc 2018
读出误差（$n>50$）	假负 $<0.05$（$t_{\mathrm{recap}}=10\mu s$，$n^{-3}$ 标度）；假正 $<2\%$	de Léséleuc 2018
高保真基准（对称输入，泄漏修正后）	$0.9971(5)$	Tsai 2025

与其他概念的关系

• 预算的对象首先是门：阻塞 CZ 门的旋转误差与衰减误差、ARP 门与STIRAP 与暗态门的绝热-衰减权衡、并行纠缠门的旁观原子串扰，都由本条的分项模型量化。
• 预算的用途是指导优化与标定：把主导分项写进目标泛函即鲁棒最优控制，把慢漂移交给门标定闭环，而”哪一项主导”的判断本身依赖本条的谱域与占据时间记账。
• 里德堡态的能级物理（寿命随 $n$ 的标度、$C_6$ 与极化率）见里德堡原子与里德堡态；把寿命/散射计入平台级评测见中性原子基准测试；运动误差与阱的匹配涉及碱土原子与核自旋量子比特的魔陷阱设计与原子损失与容损失架构的损失建模。
• 误差预算与误差表征互为表里：模型给出预测，RB/泄漏表征给出实测，两者在门标定闭环中对账。

参考文献

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• G. Warttmann, F. Meinert, H. P. Büchler, S. Weber, “Suppressing crosstalk for Rydberg quantum gates”, Quantum 10, 2045 (2026). Warttmann 2026 · DOI 10.22331/q-2026-03-24-2045
• I. I. Beterov, M. Saffman, et al., “Two-qubit gates using adiabatic passage of the Stark-tuned Förster resonances in Rydberg atoms”, Phys. Rev. A 94, 062307 (2016). Beterov 2016 · DOI 10.1103/PhysRevA.94.062307
• I. I. Beterov et al., “Adiabatic passage of radio-frequency-assisted Förster resonances in Rydberg atoms for two-qubit gates and the generation of Bell states”, Phys. Rev. A 97, 032701 (2018). Beterov 2018 · DOI 10.1103/PhysRevA.97.032701