颜色码

颜色码（color code）是 Bombín 与 Martín-Delgado 提出的第二大 2D 拓扑稳定子码家族（原始提出文为 2006 年书章，arXiv 系统定义见《Topological Quantum Distillation》）：量子比特放在三价、面可三着色（红绿蓝）格的顶点上，每个面同时配 X 型与 Z 型两个稳定子。它的招牌能力是横向 Clifford：三角格颜色码上 $X^{\otimes n}$、$Z^{\otimes n}$ 与相位门全体可以拓扑地实现，无需选择性寻址、无需编织任意子——由此衍生的”拓扑蒸馏”让纠缠蒸馏、传物与魔法态制备都留在码内完成。最小实例 d=3 的 7 比特三角码就是 Steane 码。

图:环面颜色码——量子比特(圆点)在三价顶点上,面三着色;每个面配 $B_p^X$ 与 $B_p^Z$ 双稳定子;红面收缩为点、红边收缩为连线即得红色收缩格,弦算符沿收缩格走(来源:QE079)

定义：三着色格上的双稳定子

取三价（trivalent）格，其面可用三种颜色正常着色（任意两个相邻面异色）。量子比特放在顶点。每个面 $p$ 配两个稳定子Bombin & Martin-Delgado 2006 (arXiv)：

$B_p^{\sigma }={⨂}_{i\in \partial p}{\sigma }_i,\sigma =X,Z,$

即 CSS 型的”双稳定子”结构——每个面既是 X 检查又是 Z 检查。这与表面码形成精确对照：表面码把 X 型放在顶点星、Z 型放在面（两类空间分离），颜色码把两类都压在面上、顶点只放比特。对易性由 $\partial p\cap \partial p^{\prime }$ 至多共享一条边保证：共享边上的 $X$-$Z$ 因子成对出现。

收缩格与弦算符

颜色码的拓扑结构通过收缩格（shrunk lattice）显形：对每种颜色各造一个收缩格——红收缩格把红面缩成点、红边缩成连线。可以证明：

• 弦算符沿收缩格的边走，支撑取在穿越的边上；
• 同色弦可以连续变形（同伦等价），还可以换色（红蓝绿三类弦按颜色等价规则互相替换）——两种等价合起来给出逻辑算符的完整分类；
• 逻辑 $\bar{X}/\bar{Z}$ 由三条不同色的弦（3-弦算符）或三色弦网（string-net，三分叉点允许）代表。

图:三角码——边界为红绿蓝三色各一段的三角形 patch;最简实例 d=3 即 7 比特 Steane 码,可向任意大小推广(来源:QE079)

边界与三角码

颜色码的边界是单色洞：拿掉某色的面，该色的弦便可在洞边终结。编码一个逻辑比特的标准几何是三角码（triangular code）：三角形 patch 的三条边分别是红、绿、蓝边界各一段。三条弦（每色一条）从对边连到自身颜色的边界，构成 $\bar{X}/\bar{Z}$。距离 d 的三角码用 $n=7,19,37,\dots$（d=3,5,7）个比特Bombin & Martin-Delgado 2007 (Phys. Rev. A)；d=3 的 7 比特三角码与 Steane 码同构（见steane-code）。

横向 Clifford 定理

颜色码的核心定理：在三角码上，以下算符把码空间映到自身并实现对应的逻辑 Clifford 门Bombin & Martin-Delgado 2006 (arXiv)：

• $\bar{X}$ 逻辑：$X^{\otimes n}$（全体比特上横向 X）；
• $\bar{Z}$ 逻辑：$Z^{\otimes n}$；
• 相位门 $K$（$\mathrm{diag}(1,i)$）：每个面顶点数满足 $v=4m$（4 的倍数）时，某个逐比特相位算符实现逻辑 $S$ 门；
• Hadamard：$X\leftrightarrow Z$ 对称性直接给出（颜色码天然自对偶）。

于是整个 Clifford 群都能横向（transversal）、拓扑地实现——对比表面码：其横向门只有 H/CNOT 类，S 门与通用性必须靠魔法态蒸馏补足（见transversal-gates、eastin-knill）。定理的代价是三角形三色边界几何：它只在三角码上成立，一般颜色码需要码形变辅助。

拓扑蒸馏与资源对比

Clifford 群 + 码内测量 = 拓扑蒸馏（topological distillation）：纠缠蒸馏、量子传物、超密编码、魔法态注入计算全部在颜色码的拓扑保护内完成Bombin & Martin-Delgado 2006 (arXiv)。资源侧的横评（Bombín–Martín-Delgado 2007）：定义纠错率 $C:=n/d^2$，则

场景	表面码 $C_s$	颜色码 $C_c$
环面典型格	2	3/2
环面最优格	1	9/8
平面最优格	1	3/4

同一曲面同距离下颜色码编码的逻辑比特数是表面码的 2 倍（无独立顶点型稳定子、约束更少）Bombin & Martin-Delgado 2007 (Phys. Rev. A)；但代价是稳定子权重随面大小增长（六边形格权重最高 6+）、译码器需处理三色结构，且 2D 颜色码没有已证实的阈值优势。颜色码的另一特长是单次纠错（single-shot）潜力与 3D 自纠正版本（见single-shot-qec）。

2026 变体

• 双曲颜色码：Hasegawa–Yamasaki 在双曲平面上构造常数码率 + 多项式距离的颜色码，同时保留横向门与 single-shot 容错结构——把颜色码从 2D 的 $k=O(1)$ 限制里解放出来Hasegawa & Yamasaki 2026 (arXiv)；
• 更密平面颜色码：Shutty 给出更高编码率的平面颜色码构造Shutty 2026 (arXiv)；
• 缺陷自适应形变：方格颜色码在缺陷格上的自适应形变方案Wei et al. 2026 (arXiv)。

延伸阅读

• steane-code
• surface-code
• homological-codes
• topological-code-comparison
• transversal-gates
• single-shot-qec