比特序与寄存器约定

在量子算术里，“第 0 根线”到底对应整数的最低位还是最高位，不是细节而是语义。同一个加法线路，线序约定不同，算的东西可以从 $a+b$ 变成 $a\cdot 2^n+b$。论文之间、论文与实现之间、甚至同一篇论文的图与正文之间都常常不一致，而且从线路图本身看不出来。这一卷把约定一次讲清，后续各卷的图统一按这里的约定画。

两种线序约定

设一个 $n$ 比特的寄存器 $x={\sum }_{i=0}^{n-1}{x}_i{2}^i$，其中 $x_0$ 是最低位（LSB）。

• 大端（big-endian）：最上面的线是最高位 $x_{n-1}$，往下依次递减，最下面的线是 $x_0$。
• 小端（little-endian）：最上面的线是最低位 $x_0$，往下递增。

Qiskit 的 QuantumCircuit 默认按小端绘制寄存器，即 q[0] 画在最上面；而教科书（尤其算术文献）几乎一律按大端画。本 wiki 的图统一用大端：最上面的线是最高位。这条规则的好处是，它和”从上往下读数”的直觉一致，也让进位链看起来像从低位往高位走——虽然视觉上是从上往下。

无论哪种约定，进位链的方向永远是从低位到高位。在小端图里它看起来从上往下，在大端图里看起来从下往上。这个方向性是判断一张算术线路图画对没画对的第一个检查点。

IR 里的线编号

在本站的统一线路表示中，q = 0 是最上面的线。配合本站的大端约定，q = 0 对应最高位。

4 比特寄存器：大端约定，q=0 是最高位 x₃

进位在最下面那根线（$x_0$，最低位）上被受控翻转，逐位向上传播——注意这里传的是最低位，不是进位。这是一个受控加 1（计数）型结构，不是完整的加法器；完整的加法器见全加器。

如果作者需要小端约定，只需把 labels 倒过来写，并在图注里说明。但跨词条必须一致，否则本站的图谱就没有对照价值。

进位放在哪根线

$n$ 比特加法 $a+b$ 需要 $n+1$ 位结果，进位要么单独占一根线，要么”挤”回被破坏的输入线上。这是算术线路里最常见的一处分叉：

方案	进位去向	代表
显式进位寄存器	单独一根 cout 线	Vedral–Barenco–Ekert 式的经典写法
就地表	借用一个输入比特（通常是 $b$ 或 $a$ 的某一位）暂存，最后再反计算	CDKM 的 UMA 就是这么做的
就地（in-place）	输出直接写回 $a$，$b$ 被清零	Shor 类线路的常见选择

CDKM 的巧妙之处正是第二行：MAJ 阶段把行进位存进 $b$ 那一位，UMA 阶段再把它就地变成和位，全程只需一个辅助比特。对比第一行每比特一个辅助比特，这是把辅助位数量从 $O(n)$ 降到 $O(1)$ 的关键一步——而辅助比特数量直接决定容错线路的物理比特开销。详见CDKM 加法器。

寄存器分组

groups 把多根线归成一个逻辑寄存器。这是理解”操作数宽度”的前提：一张图有 10 根线，可能是 5 比特操作数、5 比特结果，也可能是 3+3+4 的临时寄存器——线数相同，含义天差地别。

三个寄存器：加数 a、结果 z、临时位 t

辅助位用 tmp 之类的名字标出，并且必须画上它的反计算。一张只画加法不画反计算的图，在 Shor 类算法里是错的——辅助位不回零就无法复用，物理比特开销会随比特数线性膨胀。

读图自检清单

拿到任何一张算术线路图，按顺序问四个问题：

1. 线序是哪种？ 从 label 或正文判断；不确定就假设大端。
2. 进位往哪个方向走？ 应该从低位到高位，方向不对说明图有问题。
3. 进位落在哪根线上？ 单独线、借用线还是就地？借用的话是哪一位被借、什么时候还？
4. 辅助位清零了吗？ 图里有没有反计算段？

这四问能过滤掉相当一部分”看起来对”的错误线路图。第 4 问尤其关键——它区分了教科书里为了讲清楚而省略的反计算，和真正可用的实现之间的差别。

为什么这件事值得单开一卷

算术线路的成本几乎全部体现在辅助比特数量上，而辅助比特数量完全取决于上面这几个约定。把 $O(n)$ 个辅助进位比特优化成一个，是 CDKM 的核心贡献；把就地表做到极致，是 Gidney 的 negadd 思路的核心。换句话说，线序与寄存器约定不是记号问题，它就是优化问题本身（见gate-cost-models）。

延伸阅读

• circuit-representation：本站的线路表示规范
• circuit-atlas：全部门型的图例
• cdkm-adder：借用输入线暂存进位的典范
• gate-cost-models：辅助比特为什么是主要成本