本卷是全站的理论地基。算术线路文献最容易被忽略的问题，往往不出在算法本身，而出在约定：线的方向代表什么、进位存在哪根线上、辅助比特用完有没有回零、成本到底按哪个门数算。这些东西不写在正文最前面，却决定了后面每一卷的横向对比是否成立。
本卷先把线路当成数据来定义（本站自己的统一量子线路表示），再约定线序与寄存器语义，然后把成本模型讲透——T 数、深度、辅助比特、魔法态吞吐这四个量为什么不能互相换算。最后补上复杂度、进位借位、计数寄存器与综述地图。
| 词条 | 读完能回答 |
|---|---|
| 量子算术线路总览 | 算术运算在线路层面到底是什么；四类原语与它们在真实算法里的位置；为什么”算术”是 Shor、振幅放大、模拟的共同内核。 |
| 统一量子线路表示 | 一套数据结构如何描述任意量子线路；为什么用 JSON 而不是 QASM 或 quantikz；同一份代码如何在构建期和浏览器里跑出完全一样的图。 |
| 比特序与寄存器约定 | 大端还是小端；进位放哪根线；辅助位要不要回零；拿到一张陌生算术线路图的四个自检问题。 |
| 门代价模型 | 为什么以 T 门计账；T 数、深度、辅助比特、魔法态吞吐为什么不能换算；相对相位门如何用约束换 T 数。 |
| 算术复杂度 | 可逆计算的算术复杂度下界；为什么乘法的渐进界难以突破；深度与规模之间的帕累托前沿。 |
| 进位与借位 | 进位、借位、符号扩展在二进制里是同一件事；为什么模 加法天然精确而模 加法需要额外线路。 |
| 计数与寄存器 | 加一、比较、溢出检测这些”小算术”为什么是构造大算术的基本件。 |
| 算术线路综述地图 | 该按什么顺序读综述；每篇综述各管什么；它们的口径差异在哪里。 |
阅读顺序建议
- 只想看懂图：线路表示 → 比特序约定 → 线路图谱。
- 要做实现或比较：再加门代价模型。
- 要做研究：全卷通读，然后直接进加法卷——那是整个领域的语法基础，其余各卷都是它的变体或下游。
- 想知道”必须可逆”的工程后果：接经典可逆计算与编译卷——本卷算术复杂度的下界，在那里变成 Bennett 嵌入、检查点折中与自动综合的日常约束。