“量子算术”听起来像是一个独立方向，其实它是量子计算的必经中层：几乎所有有实用意义的量子算法，都要先把问题翻译成对整数寄存器的加减乘除或模幂，再翻译回测量。理解这一层，等于拿到了读懂其他所有方向的钥匙。本词条给出全站的概念地图——四类原语各自干什么、它们在哪里被消费、以及为什么”把算术线路做好”是一件有独立价值的事，而不是别处的附属细节。
算术在线路层面是什么
在门模型里，量子算术就是一组可逆的酉演化：作用在 比特整数寄存器上，把 映到 （加法）、（乘法）、（模幂）。
三个关键词决定了它的全部困难：
- 必须可逆。量子演化不能擦除信息，因此”把结果写到新寄存器、释放旧寄存器”这种经典做法不行，必须设计显式的反计算段。这是算术线路比经典算术贵得多的根本原因。
- 输入通常是叠加态。经典电路的输入是确定的比特串；量子算术的输入寄存器可能处于均匀叠加。加法器因此不能”只看数值决定走哪条路”，必须对所有 种输入同时成立，这迫使线路里出现受控结构与相位门。
- 不测量中间结果。进位、借位、溢出这些经典算法里可以”看一眼再决定”的中间量，在叠加态下不能读，只能以受控方式把信息传下去。这是算术线路结构比经典电路复杂得多的原因。
第 3 点值得展开。经典的进位是 ，一个布尔函数。在量子线路里它必须变成一个酉，只能用 CNOT/Toffoli 这类受控门拼出来——而布尔函数的算术代价就成了核心问题。MAJ/UMA 这套结构之所以重要，就是因为它把”读进位”重写成了”把进位原地搬走”（见CDKM 加法器）。
四类原语
| 类别 | 典型操作 | 复杂度 | 在算法里的位置 |
|---|---|---|---|
| 线性 | 加法、减法、进位链 | 门、 深度 | 一切算术的零件；QFT 加法器、模加法器 |
| 非线性 | 乘法、除法 | 教科书 ，Karatsuba | Shor 的预处理、量子数论算法 |
| 模 | 模加、模归约、模幂 | 由上述两者 + 比较器组成 | Shor、离散对数、格密码学 |
| 变换型 | QFT 及其逆 | 受控相位（精确） | 相位估计、算术的 QFT 路线 |
线性这一类已经相当成熟：CDKM 之后，增量改进集中在 T 数与深度，而不再是结构创新。非线性这一类的渐进改进很困难（见算术复杂度）。模这一类的困难集中在归约——如何避免显式的除法与比较器，是各家方案分歧最大的地方。变换型那一类的困难在受控相位的合成代价，见量子傅里叶变换。
为什么每个方向都要经过算术
把常见算法剥开，看它们真正消耗什么算术原语：
- Shor：指数运算 对指数的二进制位做条件乘法，即模乘的重复；模乘 部分积 + 模归约；模归约 加法 + 比较器 + 条件减法。整条链最终压到加法器上。这就是为什么 CDKM 与 negadd 的进展会直接改变 Shor 的资源估算。
- 振幅放大 / 计数：精确 Grover 扩散算子是算术（）；基于 QPE 的计数是精确求相，核心是任意角度受控旋转的精确合成（见应用）。
- 哈密顿量模拟：演化算子 的实现归结为受控相位多項式的合成；高精度时又变成模幂式的重复应用。
- 量子机器学习：Hadamard 检验计算内积，代价与所估计的量有关（见应用）。
这张表的用途是：看到一个新算法时，先问”它需要哪种算术原语”，再去那一卷看现状。这比从算法论文读起要快得多。
可逆性的代价
举一个具体例子说明”可逆”意味着什么。经典求 ：算完 个部分积、累加、丢掉中间值。量子上最后一步做不到——必须把每个部分积反计算回去，才能把那些比特交还给下一个部分积用。Karatsuba 乘法器正是围绕这一点设计的：它把递归调用改成”直接把结果累加进输出寄存器的子区间”，从而根本不需要存储中间结果，也就不需要反计算——这正是它把空间复杂度从 压到 的原因（见Karatsuba 乘法器）。
任何量子算术的优化，最后都会落到”能不能省掉反计算”上。 这是贯穿全站的一条暗线。
一条阅读路线
- 比特序与寄存器约定 —— 不读这条，后面所有图都会读错。
- 加法与减法 —— 全领域的语法基础，其余各卷都是它的变体。
- 按兴趣选：模运算 / 乘法 / 模幂 / QFT。
- 应用 —— 看这些原语最终被谁消费。
- 连续变量与玻色子 —— 另一条技术路线的现状与落差。
- 门代价模型 与各卷末尾的横向对比表。