这一卷不按“算法”组织，按“这个应用需要哪种算术原语”组织。理由很直接：同一个应用在不同文献里被重复介绍，成本却被分散记在完全不同的账上——有的记 T 数，有的记查询次数，有的记深度，读者无法把它们对齐。本卷的每个词条开头都先回答同一个问题：这一步要调用的算术原语是什么、它在本站哪一卷有构造、它的代价为什么是这个形状。读完对照表，你应该能自己判断一篇应用论文的资源声明落在哪一环上。
一、应用 → 所需算术原语 → 本站对应卷
这是本卷唯一需要先记住的表。左列是应用，中列是它真正吃掉算术的地方，右列是这些原语在本站的构造位置。
| 应用 | 真正消耗的算术原语 | 消耗发生在算法的哪一步 | 本站对应卷 |
|---|---|---|---|
| 振幅放大 | 精确求和 、精确反射 、相位 Oracle | 每次 Grover 迭代里的扩散算子 | [[fundamentals/arithmetic-circuits-overview |
| 量子计数 | 任意角受控旋转的精确合成，即精确的 | 读出特征值的那次逆 QFT | [[qft/qft-synthesis |
| 振幅估计 | 上一行的合成成本 + 一组 精度的旋转角 | QPE 的相位寄存器与统计后处理 | approximate-qft、[[exponentiation/semiclassical-exponentiation |
| 哈密顿量模拟 | 受控相位多项式、模幂、交换寄存器（SWAP） | 的乘积公式或 Taylor 展开 | [[exponentiation/schoolbook-exponentiation |
| 量子机器学习 | 受控换位、fan-out（受控非门复制）、稠密线性代数 | 费米化哈密顿量的模拟与数据装载 | [[exponentiation/index |
| 张量网络收缩 | 收缩顺序就是门调度顺序；无界 fan-out 给出比特复用的上界 | 线路的并行度划分与临时比特回收 | gate-cost-models、[[fundamentals/arithmetic-complexity |
| MBQC 中的算术 | 任意角 旋转、确定性 CZ、簇态的修补与重正化 | 每个算术门之前的角度计算 | [[qft/qft-in-zx-calculus |
读这张表的方法是竖着读：从“消耗发生在哪一步”找到你熟悉的那一步，再横向看它落到哪个原语上。例如“Hadamard 检验里的受控 ”这一格，竖着对上“哈密顿量模拟”一行的第二列，横向就落到模幂与重复指数化——本站在这两卷里的账目直接可以拿来估。
二、总述：为什么应用层总是把成本推给算术层
七个应用里有五个的顶层结构是同一个形状：准备一个状态 → 用算术原语把某个酉演化搭出来 → 测量读出。差别只在于中间那一步用哪种原语、搭多深。
这个形状有一个直接后果：应用论文的主结果通常写成 次查询或 次迭代，但这两个式子里不包含任何门级信息——查询复杂度只告诉你调用了几次原语，没告诉你一次原语有多贵。
两边一叠加就会得到本站反复警告的那类矛盾数字：一篇论文报告 次查询，另一篇报告同样精度的 T 数，两者差着好几个数量级，且都不算错。原因不在任何一篇的方法，而在它们量的不是同一个东西。本卷每篇词条都把“查询/迭代次数”和“门级代价”分开列账，能换算的地方给换算式，不能换算的地方明说缺哪一环。
三个具体的分歧点值得先记住：
- 精确 vs 近似。 振幅放大在 QASM 门集上用的是布尔反射（ 门加多控门），而数学上的 Grover 扩散算子是 ，后者的实现需要精确求和，而量子求和没有闭式构造。amplitude-amplification把这条分岔算清楚。
- 精度与门集的耦合。 基于 QPE 的计数要求能精确合成任意角度的受控旋转，这件事与 QFT 卷的 T 数账目是同一枚硬币的两面。quantum-counting给出恒等式，approximate-qft给出截断的账。
- 演化算子的归约。 哈密顿量模拟的 在高精度下退化成模幂式的重复应用，因此它的成本表可以直接引用模幂卷而不是另起炉灶。hamiltonian-simulation说明这条归约。
三、词条表
| 词条 | 回答的问题 | 主要引用 |
|---|---|---|
| amplitude-amplification | 精确 Grover 扩散算子为什么本身就是一条算术线路；精确求和没有闭式带来多大代价 | [[sources/QAPP001 |
| quantum-counting | 基于 QPE 的计数为什么是“精确求相”； 与逆 QPE 的恒等式怎么用 | QAPP001、QAPP002 |
| amplitude-estimation | 迭代式 QAE 如何用固定三个受控旋转替代 Grover 迭代；采样次数与比特数怎么取平衡 | [[sources/QAPP003 |
| hamiltonian-simulation | 演化算子如何归约为受控相位多项式；乘积公式、线性深度与高精度三条路线的取舍 | [[sources/QAPP004 |
| quantum-ml-arithmetic | 数据装载与费米化哈密顿量把哪些算术原语拉进机器学习流程；fan-out 的账怎么算 | QAPP004、[[sources/QAPP007 |
| tensor-network-contraction | 收缩顺序与门调度是不是同一件事；无界 fan-out 门集给出一个什么样的可达性上界 | QAPP007、QAPP008 |
| arithmetic-in-mbqc | 测量型计算里算术门怎么被拆成一串 旋转角度；簇态修补的代价落在哪 | QAPP007、QAPP008 |
四、本卷的引用纪律
本卷词条只引用 research/APP.md 正表中已核验的 APP### 条目（文献页 QAPP001–QAPP008）。研究底稿记录了一次关键的方法学教训：本轮对 15 条凭记忆写下的 arXiv 编号逐条回查，15 条全部错误，无一命中。因此本卷不写任何未经实时核验的编号、作者或年份。
两个领域在本卷覆盖不足，如实标注而不是用别的方向的论文顶替：张量网络收缩的算法与工具链归入资源账本卷（那条线上本卷的 fan-out 引用只覆盖“收缩代价 ↔ 门成本”这个桥梁的模型侧），量子机器学习的数据装载在已核验条目里同样偏薄。遇到这两块时，本卷给出的是数学结构与算术归约，缺的那一环会直接写出来。
论文依据
- Grover（1996） —— 扩散算子 的规范出处；本卷把它当作算术原语而非门序列来解读的依据。
- Brassard–Høyer–Mosca–Tapp（2002） —— 振幅放大与振幅估计的期刊完整版，给出量子计数与迭代查询算法的原始形式；本卷的计数/估计两篇词条以此为准。
- Grinko 等（2021） —— IQAE 用固定三个受控旋转的酉分解替代 Grover 迭代，并显式给出辅助比特数与旋转精度需求。
- Kivlichan 等（2018） —— 电子结构模拟的线性深度/线性连接结果；乘积公式与受控换位寄存器的算术取舍是hamiltonian-simulation与quantum-ml-arithmetic的共同依据。
- Plekhanov 等（2022） —— 变分量子振幅估计；本卷用它作为“非 QPE 路线”的对照样本。
- Ramôa–Santos（2025） —— 贝叶斯视角下的振幅估计；本卷用它区分“算法结构”与“后验选择”两类精度来源。
- Høyer–Špalek（2003） —— 无界 fan-out 门集的奠基论文；tensor-network-contraction与arithmetic-in-mbqc用它给出算术深度的可达性上界。
- Gokhale 等（2021） —— 把 fan-out 从理想模型落到具体器件与噪声模型上，并给出算术深度的换算；本卷用来标注“模型内结论”与“器件相关结论”的分界。