本卷不讨论怎么设计算术线路——那是加法、模运算、乘法几卷的事。本卷回答一个更靠后的问题：当一篇论文说”我们的 比特加法器用了 个 T 门”，这句话离”要买多少台设备、跑多久”还有多远？
答案是一条五环相扣的换算链。每一环都乘一个系数，而每个系数的来源完全不同：有的来自门集分解（精确），有的来自纠错码的格点几何（是约定不是定理），有的来自你选的魔法态工厂配置（是自由参数）。把这条链写清楚，跨论文比较才有意义。
换算链总表
| 环节 | 输入 → 输出 | 乘的系数 | 系数从哪来 |
|---|---|---|---|
| ① 线路 → T 数 | Toffoli 数 → | （普通 Toffoli）、（相对相位 Toffoli） | Clifford+T 门集的标准分解，见门代价模型 |
| ② T 数 → 工厂规模 | → 工厂逻辑比特数 、吞吐 | 工厂周期数 与每周期产比特数； 由目标深度反推，不是独立给定的量 | |
| ③ 工厂 + 线路 → 逻辑比特 | 、、 → | 直接相加，无系数 | 算术线路的寄存器宽度 + 辅助位（进位存哪）+ 工厂占用 |
| ④ 逻辑比特 → 码距 | → | 没有系数，是约束求解 | 由目标错误率 、物理错误率 、电路位置数共同定，见容错成本模型 |
| ⑤ 码距 → 物理比特 | → | （旋转表面码） | 码的格点几何。这是约定不是定理，换码型系数就变 |
| ⑥ 深度 → 墙钟时间 | → | 取 ，不取和 | 线路执行与工厂供给并行，见 T 数与深度 |
最后一行值得单独强调：线路跑自己的时间与工厂供魔法态的时间是并行的，所以总时间取二者的最大值，而不是相加。这条决定了”降低 T 数常常抬高深度”在物理上到底是不是好事——T 数与深度一词条专门处理这个张力。
这条链上最容易出错的三件事
第一， 不是”越大越好”。 码距由目标逻辑错误率和物理错误率共同决定；而物理错误率是硬件给的，你改不了。同一张线路图， 差一个量级，算出来的 与 就能差好几倍。任何只报” 个物理比特”而不说码距与 的数字都是不完整的。
第二，工厂吞吐 是被约束出来的，不是被算出来的。 你先定目标墙钟时间 ，才能反推工厂每秒要产多少个 。 定不下来，②③④ 三环全部悬空。
第三，编译器和优化器对算术线路常常收不到钱。 手工优化过的 CDKM、Kutin、Takahashi 这类结构，局部的 Clifford 化简空间基本被榨干了；通用编译器（包括机器学习编译）的主场是随机线路和通用逻辑，而不是已经被手写 MAJ/UMA 咬合过的算术骨架。线路优化与编译器工具链两篇把”什么时候有用”和”什么时候没用”分开写，不给没有数字支撑的乐观结论。
词条
| 词条 | 读完能回答 |
|---|---|
| 资源账本 | 换算链上每一环具体乘了什么； 到 的完整算例怎么算；一个完整的账本要同时列哪几个量。 |
| T 数与深度 | 为什么这两个指标不能互换；降低 T 数为什么常常抬高深度；魔法态工厂吞吐为什么才是墙钟时间的真瓶颈。 |
| 容错成本模型 | 码距 是怎么从目标错误率反推出来的；表面码的 系数从哪来；实验上 增大到哪一步才真正开始赚。 |
| 基准套件 | 有哪些公开的跨层级基准套件；不同抽象层的基准为什么不能混在一张榜上比；本站在什么场景下用哪一个。 |
| 模拟工具 | 算术线路该用什么方式模拟：稳定子模拟器、张量网络、状态向量各自的适用区间与失效点。 |
| 线路优化 | ZX 化简、模板重写、机器学习编译各自在什么输入上才真正有效；对已手工优化的算术线路为什么常常收不到钱。 |
| 编译器工具链 | 从算术 IR 到硬件门集要经过哪几层；哪些层是必需的、哪些是可选的；“跑一遍编译器”到底改动了什么。 |
阅读顺序建议
- 第一次接触：换算链总表 → 资源账本 → T 数与深度。先接受”没有单一数字”这件事。
- 要做硬件选型：容错成本模型 → 基准套件。
- 要发一篇算术线路论文：线路优化 → 编译器工具链。先搞清楚自己的对手是谁。
- 要验证一条线路：模拟工具。搞清自己该拿稳定子模拟器还是张量网络。
论文依据
- Fowler 等 2012，Surface codes —— 提供了”物理门数 → 表面码架构下物理比特规模”这套标准方法学：本卷换算链第 ④⑤ 环的方法学底本。
- Gidney 2021，Stim —— 提供了稳定子线路的高吞吐模拟与探测器误差模型生成能力，是本卷做线路验证与门数核对时用的工具基准。
- Steiger 等 2018，ProjectQ —— 提供了一个带资源计数插件的中间表示框架，是本卷讨论”从算术 IR 到资源报表”时引用的具体实现形态。
- Quetschlich 等 2023，MQT Bench —— 提供了跨抽象层统一基准套件的做法与规模，是本卷谈基准可比性时的事实依据。
- Google Quantum AI 2023，缩放表面码逻辑比特 —— 提供了码距从 3 增到 5 时逻辑错误率的实测变化，是本卷”码距什么时候开始赚”这一节的实验锚点。
- Lloyd–Mohseni–Rebentrost 2014，量子主成分分析 —— 备查：量子机器学习侧的著名算法，但未找到与换算链/工具链主题直接相接的词条落点；保留文献页待后续扩卷。