模拟工具

算术线路的验证有一个容易被忽略的特点：它比随机线路容易精确模拟得多。原因不在算力，而在线路结构——MAJ 段里数据寄存器始终停在计算基上，叠加只产生在少数几根进位线上。本词条把三条模拟路径与一条”不模拟”的路径各自的硬墙写清，并给出选型表。

三类模拟器，三种不同的硬墙

类别	状态表示	规模上限由什么决定	越界时的表现
态矢量	$2^n$ 个复振幅	内存，不是时间；每振幅双精度复数 16 字节	分配失败，无中间结果
稳定子 / Tableau	稳定子表 + Pauli 帧	表规模随 $n^2$ 增长，与门数无关	遇第一个非 Clifford 门即停止
张量网络	带键空间指标量的图	键空间，由切口的键维决定	键维随比特数指数上升时失效

态矢量的墙是纯算术：

比特数	振幅个数 $2^n$	双精度复数占用
20	$\approx 1.05\times 10^6$	$\approx 16.8$ MB
30	$\approx 1.07\times 10^9$	$\approx 17.2$ GB
40	$\approx 1.10\times 10^{12}$	$\approx 17.6$ TB

“只能跑十几个比特”是这条内存曲线的结果，但它只对必须显式跟踪全部 $n$ 个比特振幅的线路成立——算术线路常常不满足这个前提。

稳定子模拟器给出的是抽样分布而非精确振幅。Stim 只在第一次采样时真正跑一次昂贵的 Tableau 模拟，之后以该样本为参考批量传播 Pauli 帧——这也是它能在距离 100 表面码线路（2 万物理比特、800 万门、100 万次测量）上15 秒分析、随后 1 kHz 采样的原因。线路含 T 门时 Tableau 层不成立，工具退化为按误差模型抽样。

算术线路的关键结构性事实

进位链加法器的 MAJ 段只有三类门：进位线上的 CX、进位线上的 Toffoli、数据线上的 CX。它们都不会把数据寄存器带离计算基——只按经典条件做 $X$ 翻转。于是：

$$\text{数据寄存器}\in |a⟩|b⟩|z⟩(\text{始终}),\text{叠加}\subset \text{进位线}$$

若只用了 $n_c$ 根进位线，精确跟踪所需的振幅个数是 $2^{n_c}$ 而非 $2^{2n+1}$。对进位链加法器 $n_c=1$，两个振幅就能精确跟踪一条 $n$ 位线路——这是算术线路与随机线路在可模拟性上完全不同的根本原因。

这个论证何时失效必须同时说清：UMA 段把进位解纠缠回数据寄存器，账到此为止；QFT 型乘法把指数寄存器与数据整体纠缠，缩减完全失效；近似加法器主动引入的非 Clifford 门落在 Tableau 覆盖范围之外。

MAJ 段：数据线始终为计算基，叠加只产生在进位线上

图上只有一根线带 Toffoli 目标符号，其余全是 cx——这就是”数据线经典、进位线量子”在图上的样子。

选型表

要回答的问题	选谁	何时撞墙
这条 $n$ 位加法器算对了吗	态矢量 + 上一节的维度缩减	缩减不成立的线路（UMA 之后、QFT 型乘法）
有多少 T 门、多少深度	资源统计，不是模拟器	见资源账本
加噪声后失败率多少	稳定子抽样 + 探测器误差模型	非 Clifford 门多时只给抽样分布
纠缠如何分布	张量网络	键维随比特数增长时
好解子空间占多大比例	振幅估计	成功率极低时方差大
只确认图画对了	浏览器交互线路工具	超几十比特不可用，也不产出账本数字

最后一行最容易被高估：它验”图”，不验”价”。

不求态的两条替代路线

张量网络：判据是键维，不是比特数。 张量网络模拟的代价由收缩顺序决定，而收缩顺序对时间与内存有指数级影响。Gray 与 Kourtis 把”为任意规模的不规则张量网络寻找好的收缩路径”作为中心问题，用随机化协议得到接近最优的路径，并在 cotengra 自动机上同时调方法与参数做超优化，据此估计对 Sycamore”至尊”线路的经典模拟加速超过 $10^4$ 倍。

$$\text{TN 代价}\approx {\text{切口的键空间}}^2,\text{而不是}{2}^n$$

于是”要不要用 TN”可以提前判断：量一量中间的纠缠宽度。进位局部的加法器键维有界，TN 便宜；QFT 型乘法把两个大寄存器整体纠缠，TN 救不了场，应转向只估概率的振幅估计。

振幅估计：把”模拟”换成”估计”。 想知道”满足条件的结果占多大比例”时根本不需要态。量子计数把 Grover 迭代重写为振幅放大的一般形式，再结合 Shor 的思路实现近似计数。模拟器追求无偏精确值，振幅估计给出带方差的估计值，$p$ 为目标比例时查询数约为 $O(1/\sqrt{p})$——$p$ 极小时估计远比模拟便宜，接近 $1/2$ 时正好相反。

论文依据

• Gidney 2021，Stim —— Tableau 表示与 Pauli 帧批量采样的实现依据，并给出规模锚点：距离 100 表面码线路、2 万物理比特、800 万门、100 万次测量，15 秒分析、1 kHz 采样。表结构本身也说明”硬墙来自非 Clifford 门、抽样不等于精确振幅”。
• Gray 与 Kourtis 2021，Hyper-optimized tensor network contraction —— “收缩路径对时间与内存有指数级影响”的出处，并给出随机化协议加自动机超优化得到近最优路径的方法与超过 $10^4$ 倍的加速估计。
• Ran 等 2020，Tensor Network Contractions —— 收缩算法谱系及其在多线性代数视角下的统一关系，为”键维决定代价”提供方法学出处。
• Brassard、Høyer 与 Tapp 1998，Quantum counting —— 量子计数/振幅估计的原始出处：把 Grover 迭代推广为振幅放大并实现近似计数。
• Steiger 等 2018，ProjectQ —— 框架自带带仿真能力的模拟器且允许后端与插件扩展，说明同一份算法描述既跑模拟器又接真机是成熟做法。

延伸阅读

• 资源账本：模拟器不负责的那几项指标怎么算
• 基准套件：随机线路与算术线路在基准上的分布差异
• 线路优化：为什么通用优化在算术线路上常常收不到钱
• 统一量子线路表示：模拟器、账本、图共用一份 IR
• ZX 微积分与线路优化：图表示化简与线路级优化的分工