量子机器学习里的算术：数据装载、fan-out 与哈密顿量模拟

量子机器学习的论文几乎总是从”模型能学到什么”开始写，而资源账目从”数据怎么进寄存器”开始算——这两件事之间的距离，就是本词条要补的一节。一个完整的机器学习流程要经过三个环节：把经典数据装进叠加态、把模型写成哈密顿量并做相干演化、读出期望值做优化或分类。三个环节的算术原语分别是 fan-out（受控非门复制）、受控换位与模幂、以及 Hadamard 检验。本词条逐环节拆账，并如实指出哪一环在已核验文献里覆盖最薄。

一、这个应用需要哪种算术原语

环节	做什么	算术原语	落到本站哪一卷
数据装载	$|0{⟩}^{\otimes n}\mapsto |a⟩={\sum }_x{a}_x|x⟩$	受控非门（复制 x 的经典标签）+ $n$ 个受控旋转（写入振幅）	[[fundamentals/gate-cost-models
模型编码	把样本 $x$ 写成可逆预言机，把损失写成 $H(x)$	交换寄存器、模运算、二体耦合	[[exponentiation/windowed-exponentiation
相干演化	求 $⟨{\psi }_x|e^{-iH(x)t}|{\psi }_x⟩$	受控相位多项式 + 乘积公式	hamiltonian-simulation
读出与优化	Hadamard 检验估计期望值，代入参数更新规则	辅助位、测量前馈	hamiltonian-simulation

第二、三行是标准做法，本站在哈密顿量模拟卷已有完整口径，本词条不重复。第一行是机器学习特有的账，也是最常被漏掉的一行，下一节单独算。

二、数据装载：fan-out 是一条算术原语

数据装载的教科书构造分两步。第一步，把一个存放样本标签的寄存器 $|x⟩$ 复制到 $n$ 个目标线上；第二步，在每个目标线上施加一个由振幅 $a_x$ 决定的受控旋转，得到 ${\sum }_x{a}_x|x⟩$。

第一步就是 fan-out。它不是电路图上顺手画的一个技巧，而是这个应用调用的一条算术原语：$m$ 路 fan-out 用一棵 CNOT 树实现，深度 $\lceil {\log }_{2}m\rceil$，比特数 $2m-1$。Høyer–Špalek（2003）把”允许无界 fan-out”当作一个独立的门集来研究，并给出该模型下算术深度的对数可达性——这说明复制在理想模型里几乎是免费的。但紧接着的问题是：Gokhale 等（2021）把 fan-out 从理想模型搬到具体器件与噪声模型上，复制会累积保真度损失，树越深、损失越大。

数据装载的两步：fan-out 复制标签，再逐线写入振幅

图里 第 2 步 那三条受控旋转的条数是 $n$，与线路比特数同阶；即使把它们排成对数深度，门数也降不下来。可变的只有两件事：合成这些任意角旋转的 T 数（见 QFT 合成），以及是否允许”近似装载”（用更粗的振幅网格换取更便宜的旋转）。

真正贵的是精度。在总 ${\ell }_1$ 误差要求 $2^{-n}$ 的常见设定下，$2^n$ 个振幅的单个误差要压到 $2^{-2n}$ 量级——误差随线路比特数指数下降。于是装载步骤的角度合成精度要求是 $O(n)$ 比特，而整条机器学习线路其余部分（受控换位、模幂）通常只需要 $O(1)$ 到 $O(\log n)$ 比特精度的旋转。装载一步就把整条线路的精度地板抬到了 $O(n)$，这是许多资源估算里看不到的隐藏项。

三、QSVM：训练循环直接复用模拟账

支持向量机的量子版本（QSVM）把分类写成相干期望值：制备 $|{\psi }_x⟩$，测 $⟨{\psi }_x|e^{-iH(x)t}|{\psi }_x⟩$，把它与标签比较。从算术角度看，这一步与hamiltonian-simulation逐项同构——同样的费米化、同样长程耦合到交换寄存器的搬运、同样的乘积公式与 Hadamard 检验。Kivlichan 等（2018）给出的电子结构模拟结果之所以经常被机器学习论文直接引用，正是因为 $H(x)$ 的结构与电子哈密顿量同源。

训练阶段多出来的一条账是循环次数：参数更新规则（梯度下降、坐标下降等）要迭代 $O(1/\epsilon )$ 轮，每一轮都要重新走一遍”编码 + 演化 + 读出”。因此总成本是

$$O\left(\frac{1}{\epsilon }\right)\times [\text{装载}+\text{演化}+\text{读出}],$$

其中演化项按hamiltonian-simulation的乘积公式口径算，$1/\epsilon$ 项来自优化器而不是哈密顿量。把这两项分开是必要的：文献里”训练复杂度 $O(\mathrm{poly}(n)/\epsilon )$“的说法往往只覆盖后半，$1/\epsilon$ 来自经典优化，与量子线路深度无关。

另外一条只属于本应用的优化是避免重复装载：如果同一次迭代里多个样本共用同一个 $|a⟩$，装载只需做一次。多数 QSVM 电路的样本索引是逐次变化的，因此实践中通常要付满 $O(n)$ 次受控旋转。

四、这一卷的覆盖情况

如实标注：数据装载（state preparation / QRAM 架构）在本卷已核验的条目里覆盖很薄——QAPP007 与 QAPP008 提供的是 fan-out 这个原语本身的模型分析与器件落地，不是针对机器学习的数据装载基准。因此本词条第二节的精度账与门数账是从算术结构推出的数学结论，不附带某一篇机器学习论文的实测数字。梯度估计、变分线路与 Barren plateau 相关的文献同样不在本卷已核验范围内。

论文依据

• Kivlichan 等（2018） —— 电子结构哈密顿量模拟的线性深度与线性连接结果；QSVM 中 $H(x)$ 的编码、交换寄存器搬运与演化深度直接沿用此口径，见第三节。
• Høyer–Špalek（2003） —— 无界 fan-out 门集的奠基论文；本词条用它说明”复制在理想模型里近乎免费”这一结论的模型边界。
• Gokhale 等（2021） —— 把 fan-out 落到具体器件与噪声模型并给出算术深度换算；用于指出树加深时的保真度损失，以及模型内结论与器件结论的分界。

延伸阅读

• hamiltonian-simulation —— 演化与读出两环节的完整账目
• qft-synthesis —— 装载步骤里 $O(n)$ 比特精度旋转的合成成本
• windowed-exponentiation —— 交换寄存器的计数口径
• gate-cost-models —— 受控非门在 Clifford+T 下的分解代价