格式转换与混合位宽

真实算法里没有一个寄存器的格式是全程不变的：测量结果以整数进来，加权求和跑在定点上，刚性项放在浮点里，最后读出又要回到整数。三种格式之间的转换线路——缩放、对齐、规格化——每一条都是"受控位重排 + 条件加法"级别的小线路，但每一次转换都是一个舍入点，而转换线路本身决定了大线路的形状。本词条把这张转换矩阵拆开，并明确写下本卷最大的空白：没有文献做"自动格式分配"。

转换矩阵：六条边，成本天差地别

从 → 到	线路内容	成本量级	舍入点？
整数 → 定点	零线路：改编译期的比例因子注释	$O(0)$	否
定点 → 整数	截断（丢低位）或舍入（常数加 + 截断）	$O(1)$（截断）/ $O(n)$（舍入）	是（舍入）
定点 Qi.f → Qi’.f’	窄化 = 截断/舍入；放宽 = 补零 + 符号扩展	$O(1)$–$O(n)$	窄化时是
乘除 $2^k$（任意格式）	受控移位网络（桶形移位器）	$O(n\log n)$	是（右移丢位）
整数/定点 → 浮点	前导零计数 + 规格化移位 + 指数装载	$O(n\log n)$	否（若尾数场 ≥ 源位宽）
浮点 → 定点/整数	比较 + 尾数移位 + 饱和检测 + 舍入	$O(n\log n)$	是

这张表最值得记住的一行是第一行：整数 → 定点免费。这就是为什么”把算法整体平移到定点”通常只改接线表而不加线路——定点与整数的差别纯粹是编译期的位权约定（见定点数算术）。反方向的”浮点 → 定点”则是全矩阵最贵的一条边：要处理指数与尾数两个场、四种舍入方向和饱和路径，完整构造在文献里并不存在（Open Problem 2）。

移位线路：什么时候需要真的移

编译期已知的缩放不需要移位线路——错位接线即可（上一词条的第一张图）。需要真移位器的只有两种情况：

1. 运行时依赖的移位量：浮点对齐移位 $|\Delta e|$、规格化移位”前导零个数”——移位量本身是叠加态，必须上 ${\log }_{2}n$ 层受控交换网络；
2. 寄存器重用与布局约束：想把 $2^k$ 倍缩放后的数据塞回同一块物理区域时，受控 SWAP 链的成本要计入账本。

第二条在实践中常被漏记：算法设计文档说”左移 4 位”，实现里是 4 列受控交换或一层桶形移位器——在 T 数账本上不是零。这是比特序与寄存器约定里”约定即成本”的又一实例。

整数 → 浮点：装载路径

测量读出之后、或编译期常数进入浮点寄存器时的标准三步：

整数 → 浮点装载：LZC + 规格化移位 + 指数装载

三步里只有 ② 是大线路（桶形移位器）；① 的最优 T 门架构见 Yao 等 2026；③ 是一次常数减法。若尾数场位宽不小于源位宽，这条路径无舍入——这是”装载不丢精度”的精确条件，预算里值得单列一行。

混合位宽运算的两条路线

$a$（Q4.2）与 $b$（Q3.4）相加，两条路线：

• 先转换再运算：把两边都转成公共格式 Qm.f（取 $\max$ 的整数位与小数位，或取误差预算允许的最小格式），然后用同格式加法器。转换成本 = 上表第二行；这条路线有完整的组合逻辑，是实践中唯一有文献支撑的路线（各综述的隐含做法，见 Wang 等 2024）。
• 原生混合运算：定义一个”输出格式的位权接线表”，让两个输入各自错位接入（各自按自己的 $f$ 对到输出位权上），进位链一次跑完。对加法这是可行的（就是把上一词条的错位接线推广到两侧不同 $\Delta f$）；但对乘法与除法没有对应构造，这条路线作为系统方法没有文献（Open Problem 1）。

误差角度的结论很简单但常被忽略：两条路线的舍入点数量不同。先转换路线在转换处引入一次舍入，原生混合路线在结果处舍入一次——两者误差上界同阶但来源不同，链式表达式里会累积出差异。

转换是预算项：一条纪律

每次格式转换至多引入一个舍入点，因此算法的误差账应当把”转换次数”当作与”运算次数”同级别的显式预算项。一个可操作的格式：

总误差 $\le {\sum }_{\text{运算 }k}{\delta }_k+{\sum }_{\text{转换 }j}{\tau }_j$，其中 ${\tau }_j\in \{0,2^{-f_j-1}\}$ 由第 $j$ 次转换的模式决定。

Childs 等 2018 的端到端预算是这条纪律的样板；Cruz Serrallés 等 2024 的 ODE 求解给出了定点为主、转换集中在输入输出两端的”转换最小化”布局。布局设计的目标不是消灭转换，而是把转换赶到冷路径上。

Open Problems

1. 自动格式分配。 给定算法结构与总误差预算 $\epsilon$，自动推导每个中间量的格式（定点 $(n_i,f_i)$ 或浮点 $(p_i,w_i)$）并最小化线路成本——经典编译界的 precision tuning（FPTaylor、Gappa 一类工具）在量子可逆线路侧没有任何对应文献。这是本卷认定的最大空白：它决定格式选择是”工程经验”还是”可复现方法”。
2. 浮点 → 定点/整数转换的完整可逆线路。 含饱和、四种舍入方向、次正规路径的完整构造未见文献；现有文献至多做”就近截断 + 隐式饱和”。
3. 原生混合乘法/除法。 混合位宽加法的错位接线可以推广，乘除对应的构造不存在。
4. 转换线路本身的成本下界。 桶形移位器 $O(n\log n)$ 的门数是构造上界，转换的下界（哪怕只对”精确的 $2^k$ 缩放”）没有文献。

论文依据

• Childs–Maslov–Nam–Ross–Su 2018 —— 转换与运算误差合并进总预算的样板。
• Cruz Serrallés 等 2024 —— “转换赶在输入输出两端”的定点主线路布局。
• Yao 等 2026 —— 装载路径第 ① 步的前导零计数器架构。
• Häner–Soeken–Roetteler–Svore 2018 —— 浮点线路内部的对齐/规格化移位器构造成本。
• Wang 等 2024 —— “先转换再运算”作为文献隐含共识的综述出处。
• Agliardi–Prati 2026 —— 混合精度方法论讨论。

延伸阅读

• fixed-point-arithmetic —— 编译期对齐为什么免费
• floating-point-arithmetic —— 运行时对齐为什么贵
• 比特序与寄存器约定 —— 位权接线表与成本的关系
• 比较器与前导零检测 —— 转换矩阵的公共子线路