定点数算术

定点数不是一种新的线路，而是一种新的接线方式：把 $n$ 位整数寄存器约定成”最高 $i$ 位是整数部分、其余 $f$ 位是小数部分”，值就变成了 $x\cdot 2^{-f}$。加法器、乘法器、比较器——前面各卷的全部线路——原封不动地可用，改变的只有三件事：哪些线接到位权 $2^k$ 上、乘完之后在哪里截断、以及除法必须退化为迭代。量子算术文献默认的实数格式就是定点（QA 系各卷的整数线路是它的底盘），本词条讲清它到底”额外”要求什么、以及哪里是文献空白。

表示：格式是线路的属性，不是数据的属性

一个 $n$ 位两补码寄存器，约定 $i$ 位整数、$f$ 位小数（$i+f=n$，常记作 Qi.f 或 Qm.n），承载的值域是

$$[-2^{i-1},2^{i-1}-2^{-f}],\text{分辨率 }{2}^{-f}.$$

关键在于：量子态 $|x⟩$ 本身不知道这个约定。同一份基态编码，配不同的 $(i,f)$ 注释就是不同的数。经典硬件好歹还有浮点运算单元的硬件类型区分，量子线路里连这个都没有——格式只存在于编译期的位权接线表里，运行时没有任何机制防止你把定点数当整数加。这把”格式正确性”从类型问题变成了线路设计问题：对齐错了，线路照样跑，只是算的是另一个数。

这也是本卷反复出现的立场的第一个推论：引用任何定点线路论文时，第一个要对齐的参数不是门数，而是 $(n,i,f)$——位宽不同、小数位不同的两个”定点加法器”根本不是同一条线路。

加法与减法：对齐发生在接线上

两个同格式定点数相加，就是整数加法器直接可用，零额外线路：$2^{-f}(a+b)$ 的编码就是 $(a+b)\mathrm{mod}{2}^n$，小数点位置不动。溢出就是整数进位出 $c_n$，要么保留这根线做饱和检测，要么丢掉（模运算语义）。

两个不同格式定点数相加才是本词条的要点。设 $a$ 有 $f_1$ 位小数、$b$ 有 $f_2$ 位小数，$f_1>f_2$。数学上要做的是把 $b$ 乘 $2^{f_1-f_2}$ 对齐到更细的网格；线路上，由于 $\Delta f=f_1-f_2$ 是编译期常数，这根本不需要移位线路——把 $b$ 的第 $j$ 位（位权 $2^j$）接到加法器的 $2^{j+\Delta f}$ 位置即可：

混合小数位加法：对齐 = 错位接线，不是移位线路

对齐是免费的，前提是格式编译期已知。 运行时才知道对齐量多少的场景（两个动态指数相减后的浮点对齐）才需要真正的移位线路——那是浮点数算术的核心成本，也是两种格式的本质分界线。

乘法：位宽翻倍与舍入线路

$n_1+f_1$ 位的 $a$ 乘 $n_2+f_2$ 位的 $b$，教科书乘法器给出 $(n_1+n_2)+(f_1+f_2)$ 位的精确乘积——小数点位置就是两个小数位数之和，这一步没有舍入。舍入发生在把乘积压回输出寄存器的时候：

• 截断（truncate）：直接丢弃低位。零线路成本，误差上界 $2^{-f}$（最坏方向偏）。
• 舍入到最近（round-to-nearest）：先把舍入常数 $2^{-f-1}$ 用常数加法器加上去再截断。误差上界减半到 $2^{-f-1}$，代价是一次 $O(n)$ 的常数加法。
• 舍入到最近偶数：IEEE 的默认模式。需要比较”被丢弃部分是否恰好等于一半且末位为奇”，是”一次比较 + 条件加法”，线路里最少见。

定点乘法：精确的乘积 + 一次舍入（Q1.1 × Q1.1 → Q2.1）

一个常见但容易写错的口径：定点加法没有舍入误差（只有溢出），乘法和除法才有。误差预算必须逐运算列，不能”每次运算误差 $2^{-f}$“一刀切——浮点数算术里同样的账要反过来记（浮点加法才有有效消隐问题）。

除法：没有”一次算完”的线路

可逆线路里没有除法器原语。所有已核验的量子定点除法都把除法化成三种迭代之一：

路线	每步做什么	步数	特点
非恢复 / 恢复长除法（restoring / non-restoring）	一次条件减法-移位	$O(f)$，逐位串行	结构最简单，深度线性；Thapliyal 系列的 T 数优化都在这一族
Newton–Raphson	两次乘法 + 一次取补	$O(\log f)$，每步精度翻倍	需要初始近似（查表或低位精度起步）；乘法多、并行好
Goldschmidt	并行的两组乘法-归一化	$O(\log f)$，深层并行	面积换深度；商与余数不同时给出

Newton–Raphson 的初始近似是这类线路的隐性成本中心：查表法要一张 $2^k$ 行的 QROM，起步迭代法要多跑两轮低位精度。初始近似的精度-空间折中在量子文献里没有被系统分析过——这直接进 Open Problem。

除法的另一个去向是把它整个换掉：Barrett 归约用”乘以预存的 $\lfloor 2^{2n}/N\rfloor$ 再取高位”替代除法（见模归约），门代价模型里”乘法换除法”通常都是赢的。先问”这个除法能不能不除”，再问”用什么除法器”——这个顺序在实践中比选除法器重要。

误差账与算法账必须合并

定点线路的误差参数（$f$、舍入模式、迭代次数）不是格式层的局部选择，它直接进入上层算法的误差预算。Childs–Maslov–Nam–Ross–Su 2018 的端到端资源估算是这条纪律的样板：把定点算术的舍入/截断误差与 Trotter 分步误差放在同一个总预算 $\epsilon$ 里分配，而不是各算各的再”留点余量”。反过来，只报”误差 $<2^{-f}$“而不报这个 $f$ 在总预算里占多少份额的论文，其资源估算无法复用。

Open Problems

按全站纪律，以下各条在调研中未能定位到已核验文献，按”把空白写清楚”的原则列出：

1. 混合位宽定点表达式的系统化线路生成。 多个不同 $(n_i,f_i)$ 寄存器的加减乘混合运算，实践中全部手工对齐；没有一篇”给定类型化表达式自动生成位权接线表”的方法论文献。
2. Newton–Raphson 定点除法的初始近似折中。 查表规模、起步精度、迭代轮数之间的三方折中没有系统分析；连”最优初始表多大”都没有公开答案。
3. 饱和算术（saturation arithmetic）的可逆线路。 溢出时钳位到极值是经典 DSP 的标准做法，其可逆实现（要同时恢复饱和标志）没有文献。
4. 舍入模式的 T 数横向比较。 truncate / round-to-nearest / round-to-even 三种模式的成本差在个别论文里顺带出现，没有专门比较。

论文依据

• Childs–Maslov–Nam–Ross–Su 2018 —— 定点算术误差与算法误差合并预算的样板；PNAS 端到端资源估算。
• Häner–Roetteler–Svore 2018 —— 定点上的分段光滑函数评估（查表 + 多项式 + 分段），定点线路被下游消费的方式。
• Thapliyal–Varun–Muñoz-Coreas 2016 与 Thapliyal–Muñoz-Coreas–Varun–Humble 2018 —— 整数除法（即定点除法的底盘）的辅助位/T 数与 T 数/T 深度两条优化线。
• Mukhopadhyay–Gheorghiu–Krovi 2026 —— 除法线路的最新改进。
• Cruz Serrallés 等 2024 —— 用定点线路解一阶 ODE 的完整流程。
• Wang 等 2024 —— 覆盖整数/定点/浮点三层的综述，可作本卷的入口读物。
• Fedoriaka–Goldsmith–Chen 2025 —— 统一实现与资源估计对比，含除法。

延伸阅读

• floating-point-arithmetic —— 当比例因子本身进寄存器
• format-conversion —— 两种格式之间怎么换、混合位宽怎么算
• 进位与借位 —— 定点加法为什么天然精确
• 教科书乘法器 —— 乘法舍入的底盘
• 模归约 —— “能不能不除”的标准答案