浮点数算术

定点数把”数有多大”交给编译期的比例因子，浮点数把比例因子的一部分——指数——搬进寄存器本身：$x=(-1{)}^s\cdot m\cdot 2^e$。动态范围由此变得可编程，代价是每一个四则运算都从”一条整数线路”膨胀成”一小段控制流”：提取场、比较指数、移位对齐、尾数运算、前导零归一化、舍入。其中最刺眼的反常是：浮点加法比乘法贵——乘法的归一化最多移一位，加法的归一化要数前导零。本词条按这条控制流逐段拆解，并给出各文献格式互不兼容的警告。

表示：三个场，以及各家互不兼容的简化

一个浮点寄存器切成三段：符号 $s$（1 位）、指数 $e$（$w$ 位）、尾数 $m$（$p$ 位）。IEEE-754 还有一整套外围语义——隐藏首 1 位、次正规数（渐进下溢）、NaN 与无穷、四种舍入模式与异常标志。已核验的量子浮点文献全部对这套语义做了削减，且削减方式互不相同：

文献	编码要点	相对 IEEE-754 的削减
Nguyen–Van Meter 2013（QNF002）	符号-幅值尾数 + 偏置指数	砍掉次正规与异常处理，聚焦加法器的空间优化
Bhaskar 等 2016（QNF005）	IEEE 风格	覆盖除法与开方，线路较早、未按 T 数计账
Häner–Soeken–Roetteler–Svore 2018（QNF001）	简化 IEEE 型	无 NaN/Inf；验证工具为 LIQUi⟩ 与 RevKit
Seidel 等 2021（QNF003）	自定格式	给出四则与开方的另一套约定
Cruz Serrallés 等 2025（QNF004）	两补码尾数 + 两补码整数指数	换掉符号-幅值 + 偏置指数这一 IEEE 底座，换得辅助比特大幅下降

这不是”谁做错了”，而是这门文献还没有到达”定标准”的阶段：不存在一个公认的”量子浮点格式”。引用任何一篇的线路数字之前，先对齐它的场宽 $(p,w)$ 与编码底座；跨论文比较浮点加法器的门数而格式不同，比比较整数加法器不报位宽还要错得离谱。

加法：一条五段控制流

浮点加法 $x+y$ 的完整结构：

浮点加法流水线：五段，每段都是一条已知线路

逐段说清它”额外”在哪里：

① 指数比较是一次 $w$ 位整数减法 + 绝对值（比较器的口径）。符号-幅值编码下有一个免费的字典序技巧：把符号位接在指数最高位的另一侧之后，整个 $(s,e)$ 场按无符号整数比较就等价于浮点数值比较——Häner 等的论文用它免掉专门的符号分支线路。

② 对齐移位是浮点加法的成本中心。对齐量 $|\Delta e|$ 是运行时的叠加态，不能靠接线，必须上真正的桶形移位器：${\log }_{2}p$ 层受控交换网络，每层由 $|\Delta e|$ 的对应位控制，$O(p\log p)$ 量级的门数。这是定点”对齐免费”（见定点数算术）在浮点里的直接反面。

③ 尾数加减是 $p+2$ 位（保护位与黏滞位）的定点加法器。两补码尾数编码（Cruz Serrallés）在这一段直接复用现成整数线路，这是该编码省辅助位的主要来源。

④ 归一化是浮点独有的三件套：数前导零（前导零检测器的最新 T 门架构见 Yao 等 2026）→ 按计数值受控左移 → 指数加修正量。有效消隐（effective cancellation）发生在这一段：两数相近相减时结果失去大量高位，前导零计数可能大到 $p$——这也是浮点相对误差均匀、绝对误差随数量级缩放的根源。

⑤ 舍入与定点的舍入线路相同（常数加 + 截断），但尾数加法可能产生一个额外进位，需要”舍入后再归一化一位”的回环——多数论文把它合并进步骤③④的位宽冗余里。

乘法：为什么反而便宜

尾数走 $(p+1)\times p$ 的教科书乘法器（$2p$ 位精确积），指数走一次 $w$ 位加法，符号一次异或。然后是归一化——但乘积的归一化最多移一位（$m_x,m_y\in [1,2)$ 时 $m_x{m}_y\in [1,4)$），不需要前导零计数器。于是：

$$\text{乘法}\approx \text{一次整数乘法}+\text{一次 }w\text{ 位加法}+O(1)\text{ 移位},$$ $$\text{加法}\approx \text{一次桶形移位器}+\text{一次 }(p+2)\text{ 位加法}+\text{一次 LZC + 一次桶形移位}.$$

Häner–Soeken–Roetteler–Svore 的实测口径里，浮点加法普遍比浮点乘法贵；他们的结论因此措辞精确——“至少在加法不占主导的典型科学应用里，浮点是可行候选”（原文摘要见 文献页）。这句话反过来读就是：谁的算法里加法在热路径上，谁就该回到定点。

除法则没有捷径：尾数除法退化为定点除法的迭代（Newton–Raphson 路线见 Gayathri 等 2022、开方见 Gayathri 等 2022），指数一次减法，再加归一化。结构与乘法同型，只是尾数段贵一个量级。

与定点怎么选：误差的形状，不只是门数

	定点	浮点
单位运算成本（Toffoli/T 数）	与整数运算同阶	高一到两个数量级
误差形状	绝对误差均匀（每格 $2^{-f}$）	相对误差均匀（每格 ${\epsilon }_{\text{mach}}$）
溢出/下溢风险	寄存器饱和，需要缩放设计	指数场自适应，动态范围宽
归一化/对齐	编译期免费	运行时桶形移位器

选择标准因此有两层。第一层是成本：运算在热路径上 → 定点加缩放几乎总是赢。第二层是误差形状与算法的匹配：对绝对误差敏感的算法（积分、密度矩阵对角元）定点天然合适；对相对误差敏感、动态范围跨多个数量级的量（本征值的谱宽度、ODE 的刚性解），浮点的均匀相对误差反而是正确工具——Childs 等 2018 与 Cruz Serrallés 等 2024 分别是两条路线的端到端样板。混合使用（热路径定点、冷路径浮点）在 Agliardi–Prati 2026 有方法论讨论，见格式转换与混合位宽。

Open Problems

1. IEEE-754 完整语义的可逆实现不存在。 次正规数、NaN/Inf 传播、异常标志、round-to-nearest-even 的完整语义没有任何一篇文献给出完整线路；上表五家各自的削减没有被统一过。“标准量子浮点格式”是本卷最大的空白。
2. 浮点对齐移位器与比较线路的 T 数下界。 现有文献报构造成本，没有下界，也不知道构造离最优多远。
3. 有效消隐的算法层误差预算。 浮点误差分析在经典数值分析里是成熟学问，但”量子定点/浮点混合线路的误差如何在算法层（而非线路层）传播”没有系统处理。
4. 跨格式成本对齐表。 上表五家互相之间没有一张统一口径（同位宽、同门集、同辅助位记账）的对比表；文献现状是”各家自测自报”。

论文依据

• Häner–Soeken–Roetteler–Svore 2018 —— 浮点加法/乘法两条构造路线（Verilog 综合对比手工优化）与”加法不占主导则可用”的结论。
• Nguyen–Van Meter 2013 —— 空间高效可逆浮点加法器，四种设计的对比。
• Seidel 等 2021 —— 含除法与开方的另一套浮点四则。
• Cruz Serrallés 等 2025 —— 两补码尾数 + 两补码整数指数编码，倒数运算辅助比特显著减少。
• Bhaskar–Hadfield–Papageorgiou–Petras 2016 —— 早期系统的量子浮点科学计算线路（除法、开方、超越函数）。
• Agliardi–Prati 2026 —— 混合量子浮点方法的近期进展。
• Yao 等 2026 —— 归一化段的核心子线路：模块化 T 门高效前导零计数器。
• Gayathri 等 2022（浮点除法）、Gayathri 等 2022（浮点开方）—— 尾数段的迭代路线实例。
• Childs 等 2018、Cruz Serrallés 等 2024 —— 定点与浮点两条端到端路线的算法层样板。

延伸阅读

• fixed-point-arithmetic —— 默认格式：整数线路 + 编译期比例因子
• format-conversion —— 整数/定点/浮点之间怎么换
• 比较器与前导零检测 —— ① 段与 ④ 段的子线路
• 加法器分类 —— ③ 段的底盘怎么选
• 门代价模型 —— “贵一到两个数量级”按什么口径计