旋转表面码

旋转表面码（rotated surface code）是把表面码 patch 的方格旋转 45°、让数据比特落在对角网格交点上的布局：距离 d 的 patch 只需 d² 个数据比特加 d² 个测量比特，比非旋转布局的 (2d−1)² 省近一半。它由同调码的"最优格"思想发展而来（Bombín–Martín-Delgado 2007 年给出平面最优资源比 Cs=1），如今是 Google、IBM 等几乎所有超导纠错实验的标准 patch。各向异性版本 (dx,dz) 允许只加大一个方向的距离，2025 年在 IBM Heron 处理器上完成了实验验证。

布局：为什么旋转省一半比特

同调码理论已经说明：同一环面上，原始 Kitaev 方格给 $[[2d^2,2,d]]$，而最优正则格给 $[[d^2+1,2,d]]$——比特数几乎减半（见homological-codes）。平面化的对应结论是：典型格的资源比 $C_s:=n/d^2$ 从 2 优化到 1，d=5 的单比特表面码从 n=41 降到 n=25Bombin & Martin-Delgado 2007 (Phys. Rev. A)。旋转表面码就是这一优化在实践中的形态：把 patch 内的方格相对外部边界转 45°，数据比特放在旋转格的顶点上，稳定子变为交错的 Z 型（原面）与 X 型（旋转后的面）权重 4 算符，边界为权重 2。

按 Vezvaee 等人 2025 年论文中的计数Vezvaee et al. 2025 (arXiv)：

$n_{\text{data}}=d^2,n_{\text{ancilla}}=d^2,n_{\text{total}}\approx 2d^2\text{比特}/\text{逻辑比特}$

（该计数把 patch 的辅助比特取满 $d^2$；最小标准 patch 实为 $d^2+(d^2-1)=2d^2-1$ 个比特，见下节 d=3 的 17 比特。各向异性版本 $(d_x,d_z)$ 用 $2d_x{d}_z$ 物理比特。）对比非旋转布局的 $(2d-1{)}^2$：d=3 时 17 对 25、d=5 时 49 对 81、d=7 时 97 对 169——旋转布局的优势随 d 扩大。

d=3 的 17 比特布局

最小的非平凡旋转表面码是 17 比特码：3×3=9 个数据比特加 8 个测量比特。8 个测量比特中，4 个放在数据网格的内部交叉点上（2 个 Z 型 + 2 个 X 型的权重 4 稳定子，棋盘式交错），另外 4 个放在边界中点上：rough 边界上是权重 2 的 $ZZ$ 检查、smooth 边界上是权重 2 的 $XX$ 检查。$\bar{Z}$ 是连接两条 rough 边的 3 比特 Z 串，$\bar{X}$ 是连接两条 smooth 边的 3 比特 X 串，二者恰在一个数据比特上相交，故反对易、距离 $d=3$。这个 17 比特 patch 是超导平台上 d=3 纠错实验的标准单元。

各向异性 (dx,dz) 版本

X 与 Z 两类错误的保护距离可以独立选取：取 $(d_x,d_z)$ patch，物理比特数 $2d_x{d}_z$（数据 $d_x{d}_z$ + 测量 $d_x{d}_z$）。加大 $d_z$ 只改善 Z 基逻辑态的保护、加大 $d_x$ 只改善 X 基——各向异性标度。2025 年 USC–IBM 马德里团队在 IBM Heron 处理器上从均匀 $d=(3,3)$ 出发，实现 $(3,5)$ 与 $(5,3)$ 两个 patch（同一 25 比特 footprint 内含三个 $(3,3)$ 子码），配合 fold-unfold SWAP 嵌入与动力学解耦（DD），实测确认：$(3,5)$ 改善 Z 基逻辑保持、$(5,3)$ 改善 X 基Vezvaee et al. 2025 (arXiv)。该工作还警告：常用的单参数抑制因子 $\Lambda$ 拟合在非 unital 逻辑噪声、逻辑 SPAM 不可忽略时会误导（详见surface-code-threshold）。

图:IBM Heron 处理器上 $|+⟩$ 逻辑态的逻辑错误概率随 QEC 轮数——$(3,5)$、$(5,3)$ 与三个 $(3,3)$ 子码对比,各向异性方向的保护按预期提升(来源:QE098)

与 heavy-hex 阵列的关系

旋转表面码 patch 的内部连通度可以压到度 3：每个测量比特只连 4 个数据比特、每个数据比特至多连 4 个测量比特，但把 patch 映射到 IBM 的 heavy-hex（蜂窝型度 3）耦合图上仍需 SWAP 嵌入——这正是 2025–2026 年 heavy-hex 定制码方案（heavy-hex 码、dynamic compass code）的出发点（见heavy-hex-code）。换言之：旋转表面码是”理想方格”的最优 patch，而 heavy-hex 阵列上的实验要么嵌入它（fold-unfold SWAP），要么改用为度 3 图身定做的子系统码。

2026 变体：patch 旋转与三维堆叠

• patch 旋转（patch rotation）：把 patch 整体旋转 90° 可以把 X 型测量面换到 Z 型，使相邻 patch 能直接做 lattice surgery 粘接——这是 yoked surface codes 高密度拼网的关键构件（Litinski 2019 构造，见topological-code-comparison）Gidney et al. 2023 (arXiv)。
• 三层堆叠：2026 年提出的 3D 堆栈架构把三层距离 d 的旋转表面码（数据层 $|\psi {⟩}_L$、辅助层 $|0{⟩}_L$ 与 $|+{⟩}_L$）垂直对齐，用层间横向耦合器在常数深度内完成无测量纠错的奇偶反馈，消除 2D 平面上 O(d) 深的 SWAP 路由Min et al. 2026 (arXiv)。

图:三层堆叠的旋转表面码——中层为数据块,上下两层是制备成 $|0{⟩}_L$ 与 $|+{⟩}_L$ 的逻辑辅助块,层间垂直耦合器把反馈做到常数深度(来源:QE099)

延伸阅读

• surface-code
• heavy-hex-code
• boundaries-and-defects
• topological-code-comparison
• surface-code-threshold