边界与缺陷

边界与缺陷是平面拓扑码从"存储"走向"计算"的全部接口。Bravyi 与 Kitaev 1998 年把环面码搬到平面上，发现只有两类刚硬边界：rough 与 smooth，各自吸收一种任意子；逻辑算符由相对同调（连接同类边界的链）描述。把边界思想推到极限——在码内部"挖洞"（关掉测量比特）——得到缺陷逻辑比特，移动、编织洞或让 patch 分裂/合并（lattice surgery、码形变）即实现逻辑门。2026 年这套 merge/split/形变原语已在 107 比特超导处理器上全套实验验证。

两类刚硬边界：rough 与 smooth

Bravyi–Kitaev 的平面码在 $n\times m$ 格上取两段 x-边界与两段 z-边界交替排布，共 $2nm+n+m+1$ 个比特、$2nm+n+m$ 个独立稳定子，恰好编码 1 个逻辑比特；边界处稳定子退化为三体（缺边的面 / 三边顶点）Bravyi & Kitaev 1998 (arXiv)。DKLP 给出后来源自直觉的名字Dennis et al. 2002 (J. Math. Phys.)：

• rough 边界（“plaquette edge”）：边界检查是三比特 $Z^{\otimes 3}$ 面算符；电粒子 e（顶点激发）可在此湮灭——Z 错误链的端点落到 rough 边界上不再产生可测缺陷；
• smooth 边界（“site edge”）：边界检查是三比特 $X^{\otimes 3}$ 顶点算符；磁涡旋 m（面激发）可在此湮灭。

图:平面码——上下为 rough 边界(三比特 $Z^{\otimes 3}$),左右为 smooth 边界(三比特 $X^{\otimes 3}$);$\bar{Z}$ 是连接两条 rough 边的 Z 链,$\bar{X}$ 是连接两条 smooth 边的对偶 X 链(来源:QE077)

命名提示：Bravyi–Kitaev 原文的 x-边界（自由端属原格、e 湮灭处）就是 DKLP 的 rough 边界，z-边界（属对偶格、m 湮灭处）就是 smooth 边界——两套名字容易混淆，本站统一用 rough/smooth。物理上边界 = 任意子凝聚面；刚硬（有能隙）边界只有这两种，组合粒子 $\epsilon =e\times m$ 是费米子，不能在任何刚硬边界湮灭Bravyi & Kitaev 1998 (arXiv)。

相对同调：逻辑算符的精确语言

开边界的码上，“环”不再存在，逻辑算符改为相对同调类：$\bar{Z}=Y([c_{12}],0)$ 是连接两段同类（x/rough 型）边界的链，$\bar{X}=Y(0,[c_{12}^{\ast }])$ 是连接两段 z/smooth 型边界的对偶链，二者交叉奇数次故反对易Bravyi & Kitaev 1998 (arXiv)。距离是最短连接链长：

$[[2nm+n+m+1,1,\min (n+1,m+1)]].$

一般地，圆盘上 k 段 x-边界 + k 段 z-边界编码 $k-1$ 个比特（$\dim H_1(Q,V)=k-1$）——边界分段数就是编码率旋钮。

图:相对同调类 $[c_{12}]$ 与 $[c_{12}^{\ast }]$——逻辑算符 = 连接同类两段边界的链(原格给 $\bar{Z}$,对偶格给 $\bar{X}$)(来源:QE076)

洞缺陷：内部边界即逻辑比特

把”边界在码外”翻转为”边界在码内”：关掉两个测量比特，就在 patch 内部造出两个洞（Z-cut / X-cut，洞的边界类型与被关掉的检查相反——Fowler 的记法：关掉 $\hat{Z}$ 检查留下被 measure-X 包围的内部 X/smooth 型边界）。双 Z-cut 洞对编码 1 个逻辑比特Fowler et al. 2012 (Phys. Rev. A)：

• ${\hat{X}}_L$ = 连接两洞（或洞与外边界）的 X 链；
• ${\hat{Z}}_L$ = 绕单个洞的 Z 环；
• 码距 = 两洞间距与洞到外边界距离的最小值——移动洞 = 移动逻辑比特。

图:单 Z-cut 缺陷比特——${\hat{X}}_L={\hat{X}}_1{\hat{X}}_2{\hat{X}}_3$ 从外 X 边界连到洞的内 X 边界,${\hat{Z}}_L={\hat{Z}}_3{\hat{Z}}_4{\hat{Z}}_5{\hat{Z}}_6$ 绕洞一周,两链共享数据比特 3 故反对易(来源:QE084)

lattice surgery 与码形变

洞的逻辑门有两条实现路线：

• 编织（braiding）：把一个洞对绕另一个洞对移动一整圈，世界线链环的 linking 数决定逻辑作用（Z-cut 控制 + X-cut 目标实现 CNOT）——Fowler 2012 的原方案；
• 晶格手术（lattice surgery）：Horsman 等系统化——不移动任何东西，沿两个 patch 的公共边界测量联合稳定子（merge），或停止测量恢复独立 patch（split）；merge/split 序列给出 CNOT、测量与态制备，时序远短于编织Horsman et al. 2012 (New J. Phys.)。2020 年 Innsbruck 团队在离子阱 d=3 表面码上实验实现 lattice surgery 纠缠逻辑比特，纠缠保真度最高 0.9Erhard et al. 2021 (Nature)。

码形变（code deformation）：缓慢改变稳定子集合（patch 扩张/收缩、畴壁扫过、twist 介导的边界类型切换）实现逻辑门与态路由——2026 年 BAQIS/USTC 在 107 比特超导处理器上把 merge、split、扩张、收缩、畴壁与 twist 形变做成可复用原语层，组合出 routing + CNOT + H + S 的完整 Clifford 生成集，全程保持纠错保护Lin et al. 2026 (arXiv)（twist 本身见twist-defects）。跨维推广（不同维度 patch 之间的边界与缺陷理论）见Mousa et al. 2025 (arXiv)。

延伸阅读

• surface-code
• twist-defects
• lattice-surgery
• toric-code
• topological-order
• magic-state-injection