传播问题的最小模型
测 型生成元时辅助比特是 CNOT 的 target。由共轭规则 ，辅助上的 故障会反传到其后所有作为 control 的数据比特；测 型生成元时辅助是 control， 则把辅助上的 故障正向撒到后续 target 上。两条路径都把单故障放大成重错误——任何容错方案的核心都是打断它们DiVincenzo & Shor 1996 (PRL)。综合征提取的物理背景见syndrome-extraction。
Shor cat 态方法
Shor 的办法是把”一个辅助比特跑完全程”改成”一排辅助比特各接收一位”：制备 比特 cat 态（GHZ 型叠加），让数据比特依次控制第 个 cat 比特，再在 基测量整个 cat——测得的是生成元本征值Shor 1996 (arXiv)。容错性来自三道防线：cat 制备后用两个额外比特做验证（CNOT 到校验位再测），捕获制备期的 错误；数据到 cat 的每个 CNOT 只触碰一个 cat 比特，cat 上单故障至多污染一个数据比特；辅助的相位错误仍可能让综合征误读，于是整套测量重复三次表决。代价是 量级的辅助比特与多轮重复。
DiVincenzo–Shor 方法
DiVincenzo 与 Shor 证明任意稳定子码都有系统性方案：对每个生成元，先做单比特基变换把它化成纯 形式，用短 cat 态收集奇偶，再做逆变换。关键洞见在五比特码演示中显形：四个生成元分别用在四个不同的码表示（基变换串接）下测量，才能保证任何单辅助故障在数据上至多留下单比特错误；若沿用同一表示，XOR 链会把辅助相位错误反传成不可纠的双错误DiVincenzo & Shor 1996 (PRL)。辅助错误仍可造成综合征误读，所以同样需要”重复整套测量、比对一致后才施加恢复”。
Steane 方法
Steane 方法利用 CSS 码的对称性把”逐生成元”变成”整族一次”：把辅助制备成编码的 态（ 比特块），与数据做横向 CNOT，然后测量辅助。横向 CNOT 上数据第 比特只与辅助第 比特作用，单故障不扩散；辅助块自身的错误由其编码距离防护（或再验证）。一次这样的”数据→辅助”读出全部 型（或对偶地 型）综合征，比 cat 方法轮次更少，代价是辅助块必须被正确制备与检验——CSS 结构是其适用边界。DiVincenzo–Shor 框架在 CSS 码上做对称化后即退化为这一方案DiVincenzo & Shor 1996 (PRL)。
flag 比特方法
flag 的思路换了一个方向：与其阻止传播，不如标记它。附加一两个 flag 辅助比特与主辅助耦合，一旦某个单故障产生了重于自身的传播错误，flag 测量就报警；译码器把 flag 结果与错误综合征联合推断，定位真正的数据错误。Chamberland 与 Beverland 给出任意距离码的 -flag 电路族构造Chamberland & Beverland 2018 (Quantum)；Chamberland 与 Cross 把它用于魔法态直接制备（Steane 码上 10 比特、约 80% 接受率）Chamberland & Cross 2019 (Quantum)；三角色码与低度图（heavy-hex）方案把 flag 与拓扑码布局结合，Chamberland 等人证明 flag 信息融入 MWPM 译码（“boomerang 边”重新赋权）后可纠到全码距，忽略 flag 信息则 阈值减半、 逻辑错误率恶化一个数量级Chamberland et al. 2020 (Phys. Rev. X)。
四方案开销对比
| 方案 | 辅助比特 | 每生成元轮次 | 适用码 | 主要代价 |
|---|---|---|---|---|
| Shor cat | 比特 cat + 验证 2 比特 | 重复 3 次表决 | 任意稳定子码 | 比特多、轮次多 |
| DiVincenzo–Shor | 短 cat（生成元重量） | 重复整套测量 | 任意稳定子码 | 每生成元一套基变换 |
| Steane | 编码辅助块（ 比特） | 一轮读全 或 族 | CSS 码 | 辅助块需制备验证 |
| flag | 1–3 个 flag 比特 | 单轮（信息进译码器） | 任意/拓扑/低度图 | 译码器需融合 flag |
flag 路线在超导与离子阱的当代实验中已占主流——它的思想还升级到了逻辑层：Google 的魔法态培育电路里，helper 比特兼任 flag 检测器，使整个培育电路达到 fault distance 3Google Quantum AI 2025 (arXiv)。把综合征提取嵌进完整周期并处理 hook 类传播问题，见ft-ec-cycle。