Shor 九比特码

Shor 九比特码是历史上第一个量子纠错码：Peter Shor 在 1995 年的方案（Phys. Rev. A 52, R2493）用 9 个物理比特编码 1 个逻辑比特，证明任意单比特退相干都可以被纠正，一举驱散了”量子信息不可纠错”的疑虑。它的构造是两个三比特重复码的级联——比特翻转码套相位翻转码，这一级联思想后来直接生长为量子级联码与阈值定理；它也是第一个简并码。参数 $[[9,1,3]]$，码率 1/9。

级联构造：两次编码

量子比特面临的错误不只是比特翻转（$X$），还有相位翻转（$Z$）——后者在计算基下不可观测，任何经典式的重复码都无法直接对付。Shor 的解法是把两个三比特码级联起来Shor 1995 (Phys. Rev. A)：

第一步（外层）：三比特比特翻转码（bit-flip code）。先把逻辑比特做重复编码，得到三个”槽位”：

$\alpha |0⟩+\beta |1⟩⟶\alpha |0⟩|0⟩|0⟩+\beta |1⟩|1⟩|1⟩.$

第二步（内层）：对每个槽位做三比特相位翻转码（phase-flip code）：

$|0⟩\to |\tilde{0}⟩\equiv \frac{|000⟩+|111⟩}{\sqrt{2}},|1⟩\to |\tilde{1}⟩\equiv \frac{|000⟩-|111⟩}{\sqrt{2}}.$

$|\tilde{0}⟩,|\tilde{1}⟩$ 在 Hadamard 共轭基下分别由偶数个/奇数个 $|-⟩$ 的三比特串均匀叠成（$|\tilde{0}⟩$ 含 $|+++⟩$ 等四项，$|\tilde{1}⟩$ 含 $|---⟩$ 等四项）——单个 $Z$ 错翻转串的奇偶性，相位错在共轭基中”看起来像比特错”，这正是相位码能纠 $Z$ 错的原理。两级合起来展开，即得九比特码字：

$|0_L⟩=|\tilde{0}⟩|\tilde{0}⟩|\tilde{0}⟩=\frac{1}{2\sqrt{2}}(|000⟩+|111⟩)(|000⟩+|111⟩)(|000⟩+|111⟩),$

$|1_L⟩=|\tilde{1}⟩|\tilde{1}⟩|\tilde{1}⟩=\frac{1}{2\sqrt{2}}(|000⟩-|111⟩)(|000⟩-|111⟩)(|000⟩-|111⟩).$

每个块是 GHZ 型叠加，三块之间的相对相位携带逻辑信息。原始论文的 arXiv 源已不可下载（服务端 404），编码线路与稳定子结构可由综述原图承载Devitt et al. 2013 (Rep. Prog. Phys.)Terhal 2015 (Rev. Mod. Phys.)。

图:Shor 码的编码线路——先用 CNOT 复制再级联出三块 GHZ 叠加(来源:QE016)

稳定子与纠错论证

用稳定子形式看，九比特码由 8 个生成元（$n-k=8$）刻画：

$\mathcal{S}=⟨Z_1{Z}_2,Z_2{Z}_3,Z_4{Z}_5,Z_5{Z}_6,Z_7{Z}_8,Z_8{Z}_9,X_1{X}_2\cdots X_6,X_4{X}_5\cdots X_9⟩.$

纠任意单错的论证分三层：

1. 比特错（$X$）：六个重量 2 的 $Z$ 型检查逐块工作——每个块的码空间恰是重复码空间 $\mathrm{span}\{|000⟩,|111⟩\}$，块内 $Z_{3j+1}{Z}_{3j+2},Z_{3j+2}{Z}_{3j+3}$ 给出该块内出错位置的二进制读出，与三比特重复码的多数表决完全一致。
2. 相位错（$Z$）：块内单个 $Z_i$ 把 $|\tilde{0}⟩\leftrightarrow |\tilde{1}⟩$ 互换——等效为外层码中该槽位的比特翻转。两个重量 6 的 $X$ 型检查 $X_1\cdots X_6=X_1{X}_2{X}_3\otimes X_4{X}_5{X}_6$、$X_4\cdots X_9$ 比较相邻块的相位奇偶（槽位级奇偶校验的物理实现），三个块中哪一个翻了相位由此定位。
3. 任意错误：$Y=iXZ$ 同时触发两套综合征。更一般地，任一单比特算符可展开 $E=aI+bX+cY+dZ$；由于纠错是线性的，把 $\{I,X,Y,Z\}$ 在 9 个位置上的 16 种组合全部纠正，就等于纠正了任意单比特退相干（与环境的纠缠态也不例外，见Knill–Laflamme 条件）。这就是”数字量子错误”（digitizing errors）论证，后来的五比特码论文把它表述为环境相互作用的 Pauli 分解Laflamme et al. 1996 (Phys. Rev. Lett.)。

图:Shor 码的稳定子结构——块内重量 2 的 Z 检查与跨块重量 6 的 X 检查(来源:QE017)

简并性：第一次出现

注意稳定子里就有重量 2 的元素：同块内 $Z_i{Z}_j\in \mathcal{S}$（如 $Z_1{Z}_3=(Z_1{Z}_2)(Z_2{Z}_3)$）。于是同一块内两个不同位置的单 $Z$ 错具有完全相同的综合征——它们相差一个稳定子元，对码字的作用完全相同。这类”不同错误不可也无需区分”的性质称为简并性（degeneracy），Shor 码是它的第一个实例，详见degeneracy。简并性是量子纠错区别于经典纠错的核心结构：它让量子 Hamming 界的维数计数在简并码上失效（见perfect-quantum-codes），也是某些译码问题的难点来源。

地位与延续

九比特并非最小：五比特码（1996）证明 5 是纠单错的极限，七比特 Steane 码给出 CSS 路线的最短实现（见five-qubit-code、steane-code）。但 Shor 码的级联结构是最有生命力的遗产：把码自相似地嵌套即得量子级联码，其错误率 $p\to c{p}^2$ 的递减机制正是阈值定理的雏形。在同样的 $3\times 3$ 布局上，把子空间编码改写为子系统编码即得Bacon–Shor 码——所有稳定子测量都可由重量 2 的规范测量合成；偏置噪声下的级联 Bacon–Shor 方案仍是当前硬件设计的重要选项Aliferis & Preskill 2008 (Phys. Rev. A)。

延伸阅读

• bacon-shor
• steane-code
• five-qubit-code
• concatenated-quantum
• degeneracy
• qec-history