汉明界：球填充上界
以每个码字为中心、半径 的汉明球必须两两不相交——若两球相交，交点到两中心的距离都 ，由三角不等式两码字距离 ，矛盾。 元空间中半径 的球体积为
不相交的球总体积不能超过全空间，对线性码 即得汉明界：
渐近形式（， 固定）：，其中 为 元熵函数。取等 = 完美码：汉明码全族 （见hamming-codes）、二元 Golay 码 （球体积 恰饱和）、奇数长二元重复码；据 Handbook 引述的分类定理，二元/三元非平凡完美码仅此两类Albert & Faist 2026 (arXiv)。
Singleton 界：删除论证
对任意（不必线性）的 元码：删去任意固定的 个坐标后，余下码字必须两两不同——若两码字在剩余 个坐标上相同，则它们的距离至多 ，矛盾。 个坐标最多区分 个不同向量，故
渐近形式 。论证只用了”距离大 ⇒ 删坐标仍可区分”，这就是擦除信道视角：能纠 个擦除的码必须把信息完整装进任意 个坐标。取等 = MDS 码（maximum distance separable）：距离—码率帕累托前沿上的每个点都有码，无任何冗余浪费；Reed–Solomon 码是其典范构造（见reed-solomon）Reed & Solomon 1960 (J. SIAM)。据 Handbook 引述的 MDS 猜想：非平凡 MDS 码长度 （素域情形已获证，一般素数幂情形仍开放）Albert & Faist 2026 (arXiv)。
Gilbert–Varshamov 界：存在性下界
前两条界限制”码不可能太好”，GV 界则保证”不太坏的码大量存在”：存在 线性码使
计数证明（greedy 版）：逐个放置码字，每放一个就以它为中心把半径 的球划为禁区。放满 个码字后禁区总体积至多 ；只要它小于 ，就总还有合法位置。于是码字数可达
渐近地 （熵函数估计），取对数即得 。∎（线性版把”逐个放码字”换成”逐个选基向量”，结论相同。）
意义：固定 时 有正常数下界——好码（good code）随机地、大量地存在。但随机码没有结构：伴随式译码需要指数查表，编码矩阵是稠密随机矩阵。此后编码理论的构造史，就是”结构化地逼近 GV 界或绕开它”的历史：BCH/RS 是代数结构换译码效率，级联用两级结构换复杂度（见concatenated-classical），而 Sipser–Spielman 的扩张码第一次给出显式构造的渐进好码（见expander-codes），LDPC 则用稀疏性同时拿到好码与线性时间译码（见ldpc-classical）Sipser & Spielman 1994 (FOCS)。
上界与下界之间的地带
把三条界放到 平面上：GV 下界曲线 之下”存在”，汉明上界 与 Singleton 界 之上”不存在”，两者之间的地带在一般情形仍未关闭。对特定族能更紧：MDS 码挤在 Singleton 线上，LDPC 的密度演化阈值则把”可达”推进到容量线（见channel-capacity）。
量子对照
量子码有一整套平行的界：量子汉明界（子空间维数计数）、量子 Singleton 界 （给出量子 MDS 码概念）、量子 GV 界（好量子码存在性）。简并性使量子侧更微妙——简并码可以”逃出”量子汉明界，见quantum-bounds与degeneracy。