构造：校验位放在 2 的幂位置
取 个校验位、码长 、维数 。把比特位置编号 ，校验位放在编号为 2 的幂的位置（），第 个校验位 覆盖所有”编号的二进制展开含 “的位置。 情形： 覆盖 ， 覆盖 ， 覆盖 ，信息位占据 Hamming 1950 (Bell Syst. Tech. J.)。
用线性码的语言最干净：校验矩阵 的第 列就是 的二进制表示—— 矩阵的 7 个列恰好取遍 的全部非零向量：
（列的排序按”编号=二进制读数”，与上面 的覆盖关系一致。）
伴随式译码：二进制读出错误位置
设单比特错误发生在位置 ，错误向量 仅第 位为 1，则伴随式
把伴随式的三个比特当作二进制数读出来，直接就是出错位置的编号——校验位兼任”地址线”。7 个非零伴随式与 7 个单错位置一一对应，无错则 ，译码完成Hamming 1950 (Bell Syst. Tech. J.)。量子纠错的综合征提取在结构上就是这一机制的 Pauli 化（见syndrome-extraction）。
距离与完美性
任意两列不同 ⇒ 无重量 2 的码字；三列（如 ）之和为零 ⇒ ，纠 个错。完美性：纠单错的码要求 个汉明球（半径 1，体积 ）铺满 的 个点，而校验位数 恰提供 个伴随式，故
取等时汉明界饱和——汉明码是完美码（perfect code）。全族 （、、……）都完美； 退化为 重复码，同样完美。据 Handbook 引述的经典分类（Tietäväinen 等），二元/三元非平凡完美码只有汉明全族与 Golay 码 Albert & Faist 2026 (arXiv)。
检错与纠错的区分：SECDED
的码可以纠 1 个错或检 2 个错，但二者不能同时：双错的伴随式等于某个单错的伴随式，“纠错”会把好位置改坏。给 追加一个全校验位得到扩展码 ：全校验位区分”奇数个错”与”偶数个错”，于是单错被纠正、双错被检出但不误纠——SECDED（single error correction, double error detection）。注意 并不取等汉明界（），它的”完美”是工程意义而非球填充意义。服务器内存 ECC 至今运行在这套 （ 的工业打包）机制上。
对偶码与 Steane 码原料
的行空间即对偶码 ，是 simplex 码：7 个非零码字全是重量 4。由CSS 构造所需的对偶包含 在这里自动成立——（行自重 4 为偶、行两两内积 为偶），行空间含于自身的正交补即汉明码内。取 、 便得 Steane 码，且 是弱自对偶构造达到 的最短长度Steane 1996 (Phys. Rev. A)。同一族思想沿 BCH 码推广为 型量子码族（Steane 表中 的 BCH 行，见bch-codes、steane-code）。