量子纠错不是凭空发明的：Shor 与 Steane 的第一批码直接借用经典线性码与汉明码的对偶结构，今天的 qLDPC 码整套方法论（稀疏校验矩阵、Tanner 图、置信传播、扩张图构造）都是从经典编码理论平移而来再量子化。本卷给出这套参照系：先立基本对象——线性码的矩阵语言与有限域的运算，再看汉明码这个”第一个码”与界定”什么可能、什么存在”的三条界；然后是两代构造技术——代数路线（Reed–Solomon、BCH）与图码路线（LDPC、Tanner 图、置信传播）；最后三个词条补上组合与理论的收口——级联、扩张码与 Shannon 容量。每个词条都在结尾显式接回量子侧的对应概念，读后续各卷遇到”经典原料”时可随时回来查。
本卷共 12 个词条，建议按下列顺序或按需跳读：
| 词条 | 读完能回答 |
|---|---|
| 线性码 | 码=子空间；生成矩阵与校验矩阵的对偶互补（GH^T=0）；最小距离=最小重量的两行证明；伴随式为何只测错误不测信息。 |
| 有限域 GF(q) | GF(2^m) 的多项式商环构造；本原元与循环乘法群；共轭根与分圆陪集；GF(4) 怎么装下单比特 Pauli 群。 |
| 汉明码 | [7,4,3] 的校验位布局；伴随式二进制读出错位；完美性 1+n=2^r；SECDED 与对偶 simplex 码如何变成 Steane 码原料。 |
| 经典码的界 | 汉明界的球填充论证；Singleton 界的删除论证；GV 界的贪心计数证明；完美码与 MDS 码各取等哪条界。 |
| Reed–Solomon 码 | 多项式赋值构造；d=n−k+1 的两行证明；符号级纠错为何放大突发错误 m 倍；BM/Chien/Forney 译码三件套。 |
| BCH 码 | 循环码=商环理想；BCH 界的 Vandermonde 论证（连续根⇒d≥设计距离）；分圆陪集怎么算维数；Steane 码表的应用。 |
| LDPC 码 | Gallager (n,j,k) 正则定义与 R≥1−j/k；稀疏性的三重意义；1962→复兴→密度演化的历史线；0.0045 dB 与 girth 军规。 |
| Tanner 图 | 校验矩阵怎么变二部图；码=局部约束的全局解；4 环禁令与局部树半径 g/2；广义 LDPC 与 CSS 双 Tanner 图。 |
| 置信传播/和积算法 | 因子图与边缘化的公共形式；两条消息更新式从消元出发的推导；tanh 规则的完整证明；量子综合征 BP 与简并性困难。 |
| 级联码 | 外码×内码两级结构；距离乘性 d·D 的论证；错误局部化机理；Forney 多项式复杂度逼近容量定理的构造史意义。 |
| 扩张码（经典与量子） | (γ,δ)-扩张图；唯一邻居引理与距离定理；Sipser–Spielman 翻转译码收敛论证；量子扩张码的生成元级翻转与 Ω(√n) 纠错。 |
| 信道容量与编码定理 | 熵、互信息与 C=max I(X;Y)；BSC/BEC/AWGN 三例；正定理的随机编码思路与逆定理的 Fano 论证；五十年逼近史到 0.0045 dB。 |