量子湍流模拟

量子湍流（quantum turbulence）指超流体或 Bose–Einstein 凝聚体（BEC）中的湍流态：涡量被量子化为环流量子 $\kappa =h/m$ 的离散涡线，没有粘性却仍有级串。模拟它天然是量子问题——Gross–Pitaevskii 方程本身就是薛定谔型的，量子计算机不需要任何线性化技巧就能原生演化它。这属于 Sanavio–Succi 四象限框架中的 QQ 象限（量子计算机算量子物理），与 QCFD（QC 象限，量子算经典流体）互补：前者是 Feynman 论证的直接兑现，后者才面对非线性、耗散与读出的全部困难。两条代表线：Yepez–Vahala–Vahala 的 type-II 量子格子气算法在 $1024^3$ 网格上揭示双级串与快速 Poincaré 回归（arXiv:0905.0886, 2009），以及 quantics 矩阵乘积态在 $2048^3$ 网格上演示量子湍流的直接压缩演化（Gómez-Lozada et al., Phys. Rev. Applied 2025）。

框架：Gross–Pitaevskii 方程与量子湍流

弱相互作用玻色子的平均场动力学由 Gross–Pitaevskii 方程（GPE）描述：

$$i\hslash {\partial }_t\psi =[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+g|\psi {|}^2]\psi ,$$

其中 $g$ 为耦合常数（排斥相互作用 $g>0$，BEC 光晶格 Feshbach 共振对应 $g\le 100$，约 $10^5$ 原子装置可达）。做 Madelung 变换 $\psi =\sqrt{\rho }{e}^{i\theta }$，虚部给出质量守恒 ${\partial }_t\rho +\nabla \cdot (\rho \mathbf{u})=0$（$\mathbf{u}=\hslash \nabla \theta /m$），实部给出可压缩无粘流体的 Euler 方程加量子压力项 $\frac{{\hslash }^2}{2m^2}\nabla \cdot \frac{\nabla \rho }{\rho }$——涡量集中在密度为零的涡线（涡核尺寸即 healing length $\xi =\hslash /\sqrt{2mgn}$）。量子湍流就是这些离散涡线的缠结、重连与辐射，其统计与经典湍流的对照（见kolmogorov-cascade）正是该领域的核心问题。

type-II 量子格子气：1024³ 的双级串（QC087）

Yepez、Vahala 与 Vahala 为 GPE 设计了 type-II 量子格子气（quantum lattice gas）算法：每个格点放一对量子比特构成局域 cluster state，演化分解为三步局域操作Yepez et al. 2009 (arXiv)：

• 碰撞：酉门 $C=e^{i\frac{\pi }{4}{\sigma }_x(1-{\sigma }_z)}$（SU(2) 旋转）；
• 平流：互补位移算符 $S_{\Delta \vec{x},\gamma }$ 把信息沿格矢方向移动；
• 旋转：非线性相位 $H_{\mathrm{int}}(|\varphi {|}^2)$ 承载相互作用。

为达到二阶精度，用交错算符 $I_{x\gamma }=S_{-\Delta x,\gamma }{C}^{†}{S}_{\Delta x,\gamma }C$ 对称化。尺度极限下严格恢复 GPE。关键工程事实：单 body 扇区的模拟是精确的（复杂度随比特数线性增长），因此该量子算法当时就在经典超算上跑到 $512^3$/$1024^3$（并行版最高 $5120^3$）——它是为未来量子计算机设计的算法，先用经典机器榨取物理。

初始条件取三正交方向共 12 条线涡旋的四极乘积态。$1024^3$ 网格、$t=27.7\mathrm{K}$ 步的不可压缩动能谱呈现三个幂律区：

$$E(k)\sim \{\begin{array}{ll}{k}^{-1.61},& k<30(\text{Richardson 级串，}\approx \text{Kolmogorov }-5/3)\\ k^{-5.87},& 30\le k\le 70(\text{过渡区})\\ k^{-3.16},& k>70(\text{涡核内 Kelvin 波级串，}\approx k^{-3})\end{array}$$

大尺度段与经典 Kolmogorov $k^{-5/3}$ 一致——涡重连驱动的能量级串不依赖粘性；小尺度段 $k^{-3}$ 是涡核内部沿涡线的 Kelvin 波级串，与超流 He II 实验一致。双级串（经典类 $k^{-5/3}$ + 量子类 $k^{-3}$）由此成为量子湍流的标志谱形。

图:1024³ 格点 BEC 量子湍流的不可压缩动能谱:大尺度 k⁻⁵ᐟ³(经典类 Richardson 级串)、小尺度 k⁻³(涡核内 Kelvin 波级串)双级串,中间为过渡区(来源:QC087)

更意外的发现是快速 Poincaré 回归：弱非线性（$g\approx 0$）时，涡旋缠结在约 $2.1\times 10^4$ 步完全解缠、恢复初态，能量包络给出回归周期 $t_P\propto L^2$（扩散序 $\delta t\sim \delta x^2$）；而相互作用（$g\approx 5$）逐个回归周期累积 Kelvin 波扭转，最终打破快速回归——自由系统的回归时间给通往湍流的动力学划定了时间边界。

图:t≈21K 步涡旋缠结完全解缠、恢复初态构型——快速 Poincaré 回归;回归周期按 t_P∝L² 扩散标度(来源:QC087)

quantics MPS：2048³ 涡线重连（QC037）

Gómez-Lozada 等把 quantics 矩阵乘积态（matrix product state, MPS）直接用于（阻尼）GPE 的非线性演化——不做任何线性化，Strang 分裂 + 时变变分原理（TDVP）推进，动能与相互作用项写成矩阵乘积算符Gómez-Lozada et al. 2025 (PR Applied)。旗舰结果：四条涡线、$L=512\xi$ 域、每轴 11 比特（分辨率 $\xi /4$）——$2048^3\approx 10^{10}$ 格点，单个 DNS 快照需约 128 GB 内存，而 ${\chi }_{\max }=80$ 的 MPS 只用 DNS 内存 0.2% 就复现了重连拓扑（交叉涡偶极重连成四条 U 形线 + 重连后发射涡环）与随后沿涡线传播的 Kelvin 波Gómez-Lozada et al. 2025 (PR Applied)；三维湍流态总内存压缩 10–$10^4$ 倍，且时间平均的不可压缩动能谱再次呈现 $k\to k^{-5/3}\to k^{-3}$ 的双级串——与 QC087 的格子气结果交叉印证。编码细节与经典侧的湍流 PDF 应用见tensor-network-fluids。

图:2048³ 格点上垂直涡偶极的重连序列——不同颜色标出拓扑变化的涡线;χ_max=80 的 quantics MPS 以 DNS 内存 0.2% 复现重连、涡环发射与 Kelvin 波(来源:QC037)

图:二维量子湍流态的时间平均不可压缩动能谱:MPS 与 DNS 一致复现 k、k⁻⁵ᐟ³、k⁻³ 三段幂律——双级串在张量网络表示下保持(来源:QC037)

BEC 模拟提案与定位辨析（QC003）

Bharadwaj–Sreenivasan 在 QCFD 框架综述中把”用量子计算机模拟量子流体”列为与变分求解并列的路线，并给出超流湍流的层级化建模提案：从 Gross–Pitaevskii 平均场（最微观），到涡丝模型（vortex filament model，把流体看作量子涡弧的系综，交给量子计算的重活是自诱导速度的 Biot–Savart 积分 ${\mathbf{u}}_i=\frac{\Gamma }{4\pi }\oint \frac{(\mathbf{l}-{\mathbf{l}}^{\prime })}{|\mathbf{l}-{\mathbf{l}}^{\prime }{|}^3}\times d{\mathbf{l}}^{\prime }$），再到最大尺度的 HVBK 两流体模型（Landau 方程加互摩擦与涡线张力修正）Bharadwaj & Sreenivasan 2020 (arXiv)。这个层级与 QC091 的量子涡方法（把点涡系统映射为广义薛定谔方程、真机演示，见nisq-experiments）在”涡丝层面接入量子计算”上汇合。

定位上必须分清：QQ 象限的量子湍流模拟不解决经典 CFD 的指数困难——GPE 本来就是线性的（对波函数而言是幺正演化），量子计算机演化的复杂度优势来自态空间的指数容量与（未来硬件上的）原生并行。它的价值一是直接产出超流/BEC 物理（He II 低温工程、中子星内部物质都有量子湍流），二是把量子湍流当作经典湍流的”可控简化模型”：无粘性、离散涡线、明确的级串机制，为 Richardson–Kolmogorov 图像提供最干净的检验场Tennie et al. 2025 (Nat. Rev. Phys.)。经典侧对照与量子格子气血统见quantum-lattice-gas与kolmogorov-cascade。

延伸阅读

• four-quadrants
• quantum-lattice-gas
• tensor-network-fluids
• kolmogorov-cascade
• nisq-experiments