模幂 是量子算术里唯一一个”深度天然是 的乘法链”的操作。乘法、加法、模归约各自都能在 深度内做完，但把 次乘法串起来，深度就随指数位数线性堆积——在 Shor 因数分解里，这一段消耗的量子资源超过其余部分的总和。它难的原因不是某一步难，而是组合：每一步都要保持可逆、要把辅助存储还回去、要在受控条件下工作，任何一个常数优化都会在 次重复后被放大成渐近差异。
本卷从一个核心结构出发：把指数二进制展开后，模幂是对指数位做条件乘法——每读一个指数位就把结果乘上对应的常量幂，再无条件平方。这条主线决定了本卷的全部词条。模幂总览 给出这条主线与 Shor 的接口；平方-乘法 是它的直接实现，也是深度与比特账的基准；窗口化 用预处理表把乘法次数压下来；重复平方 讨论”把 次相同操作折成幂”这条与架构强相关的路线；半经典模幂 与 semi-QPE 属于改写测量基的一族；指数削减 直接从”连分数只需要近似相位”这个事实下手砍深度。最后 Shor 线路路线图 是本卷旗舰：它把 Shor 的顶层结构逐段拆开，标明每一段消耗的是哪个算术原语；而 资源对比 说明这些数字为什么多数不能直接比。
| 词条 | 读完能回答 |
|---|---|
| 量子模幂总览 | 模幂在 Shor 里占多少资源；“对指数位做条件乘法”这条主线怎么拆成 MUL/MOD 两个基本块；辅助存储为什么必须随 线性增长；受控乘法为什么被称为因子分解中唯一与群有关的操作。 |
| 平方-乘法指数化 | 平方-乘法算法怎么从二进制展开直接读出来；为什么是 次平方加约 次条件乘法； 与 两套比特账分别属于哪条路线；把 次受控乘法折成”算术序列叠加”为什么能救并行度。 |
| 窗口化模幂 | 固定窗口怎么把 次条件乘法降到 次；查表式选择要付多少存储； 的来源；表里存的是常量时为什么乘法器结构会变。 |
| 重复平方与折叠 | 怎么把 次相同的受控乘法折成一个受控幂；半加器计数器为什么是标准部件；邻居架构与非邻居架构对折叠深度的影响；用 DFT 型模乘替代折叠会换来什么。 |
| 半经典模幂 | ”只测量不复位”把辅助比特账换成什么；把受控乘法链改写成算术序列叠加省掉的是哪一段；输出只测量不反计算为什么让这类线路可经典高效模拟。 |
| 半经典相位估计 | 逐比特迭代相位估计为什么能用 个而不是 个指数比特；它与半经典模幂的分工；相位精确性如何决定抽取成功率；寄存器宽度必须满足的取值区间。 |
| 指数削减技巧 | 为什么”只需要近似相位”可以把模幂深度砍掉一半以上；把模幂算子拆成 层意味着什么；哪些层可以整层省略、被省略的部分靠什么补偿。 |
| Shor 线路路线图 | Shor 的顶层四段分别消耗哪个算术原语；受控模幂里的每次乘法吃掉哪些卷的内容；傅里叶变换与相位抽取两段各自的要求；不同论文比特数纪录为何差一倍。 |
| 模幂资源对比 | 比特↔深度的取舍谱系长什么样；哪些数字出自同一模型因而可比、哪些不可比；Toffoli 数、深度、测量深度三种口径分别对应什么物理资源。 |