薛定谔方程

封闭系统的量子态服从薛定谔方程（取 $\hslash =1$）

$i\frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩,$

其中 $H$ 是哈密顿量。方程是线性一阶的，其解为幺正演化

$|\psi (t)⟩=e^{-iHt}|\psi (0)⟩,$

即幺正变换的物理来源。

要点

• 模拟 = 实现指数：量子模拟算法（Trotterization、Qubitization、LCHS）的任务都是逼近 $e^{-iHt}$；复时间版本 $e^{-\beta H}$ 与Gibbs 态制备相联系。
• 一般线性微分方程（含非厄米、时变）可”薛定谔化”后模拟——见 Schrödingerization，它把 ${\partial }_{t}u=Au$ 类系统映射为高维薛定谔方程。
• 虚时间演化 $e^{-\tau H}$ 非幺正、压低高能态，是基态制备（Double-Bracket 与虚时间类方法）与Gibbs 采样的桥梁。
• 定态问题：能量本征值与本征态即 $H$ 的谱，相位估计 是读谱的标准工具，VQE 是其变分替代。

关联词条

• 概念：哈密顿量、幺正变换、本征值与本征态
• 算法：Schrödingerization、离散绝热方法

取材：量子力学的基本概念、Schrödingerization。

参考文献

• 混合量子计算机上的集体中微子振荡：Unknown, arXiv:2308.09123 (2023)。
• 驱动 transmon 中经典混沌的回响：Cohen et al., doi:10.1103/prxquantum.4.020312。
• Page–Wootters 量子时间：并行时间量子模拟：Unknown, arXiv:2308.12944 (2023)。
• J. J. Sakurai, J. Napolitano.《现代量子力学》第 2 章（时间演化与薛定谔方程）.
• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 2 章（演化公设）.