量子 Navier-Stokes 求解

Navier–Stokes（NS）方程把量子 CFD 的全部困难集于一身：对流项 $\mathbf{u}\cdot \nabla \mathbf{u}$ 的非线性、不可压约束的鞍点结构、长时间步进的累积成本。现有方案没有一个”纯量子”解全方程，而是各自选择分工界面——非线性留给谁、线性步交给哪个量子内核。本词条综述五条代表性路线：Gaitan 的量子非线性 ODE 法Gaitan 2020 (npj QI)、Bharadwaj–Sreenivasan 的 QFlowS 门级模拟器Bharadwaj & Sreenivasan 2023 (PNAS)、Song 等的噪声硬件混合方案Song et al. 2024 (arXiv)、本源量子的 SUB-HHL/SUB-VQLS 工程框架Ye et al. 2024 (PoF)，以及 Carleman 直接嵌入 NS 的展望Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)。

分工界面的选择

量子硬件擅长酉、线性的运算；NS 恰好两者都不占。各家路线的差异可以归结为一个问题：非线性在哪一侧被消掉？

• Gaitan：不消非线性——把离散后的非线性 ODE 组整个交给 Kacewicz 量子 ODE 算法，量子振幅估计（QAEA）承担积分求值；
• QFlowS：线性嵌入（Carleman 型）把 NS 化为无穷维线性系统截断求解，量子内核是门级 HHL/LCU；
• Song：显式分工——经典机做动量方程的非线性步，量子机用 VQLS 解压力泊松；
• 本源：经典 CFD 求解器（SU2）不动，把 Newton 迭代内的线性系统降维后交给量子线性求解器；
• Carleman 直接 NS：跳过 LBM 表述、对 NS 直接 Carleman 化，变量更少但矩阵结构更复杂。

Gaitan：量子非线性 ODE 路线

一维可压 NS 写成守恒形式 ${\partial }_{t}U+{\partial }_{x}F[U,{\partial }_{x}U]=J[U]$（$U$ 为质量/动量/能量三分量），空间 $m$ 点有限差分离散后得非线性 ODE 组 $dU/dt=f(U)$——不做任何线性化，直接调用 Kacewicz 的近最优量子 ODE 算法：时间区间二分嵌套，局部 Taylor 级数表示近似解，积分项由量子振幅估计求值。设 $f$ 属于 Hölder 类 ${\mathcal{F}}^{r,\rho }$（$q=r+\rho$ 为光滑度）， oracle 复杂度对比为：

$$\text{经典确定性}\Theta ({ϵ}^{-1/q}),\text{经典随机}O({ϵ}^{-1/(q+1/2)}),\text{量子}O({ϵ}^{-1/(q+1)}).$$

光滑极限 $q\gg 1$ 时三者接近（无加速）；非光滑极限 $q\ll 1$ 时量子对经典随机是平方加速、对确定性是指数加速——示例数字：经典随机 $10^9$ 次 oracle 对应量子约 $3\times 10^4$ 次，$q=0.1$ 时经典确定性 $10^9$ 次对应量子约 8 次。数值演示是定常无粘可压流过 de Laval 收缩-扩张喷管（含正激波，激波位置 $x=2.1$ 精确复现），31/61 格点、1400 个 CFL 步Gaitan 2020 (npj QI)。潜在指数加速的条件因此与解的光滑性倒挂——激波等非光滑结构反而是量子友好的。弱点：论文中具体 oracle 的实现留给经典计算机（见Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)的评述）。

QFlowS：门级线性嵌入模拟器

QFlowS 是 C++ 门级量子模拟器：非线性流用 Carleman 型线性嵌入化为截断线性系统，实现 HHL 与 LCU 两个版本的门级 QLSA。测试流动为低 Re 的非定常 Poiseuille 流与 Couette 流（$N=10$ 网格、7–14 量子比特演示）；它提取了 HHL 关键参数 $T_0$（模拟时间）与条件数 $\kappa$ 的幂律标度关系，可预测最优标度参数。两个保加速组件：函数型/稀疏态制备，以及原位量子后处理（QPP）——直接在量子态上计算速度场的非线性函数（示例为粘性耗散率 $\epsilon =\nu (\partial u/\partial y{)}^2$），端到端复杂度 $O(\mathrm{polylog}(N/ϵ)\cdot \kappa /{ϵ}_{\mathrm{QPP}})$Bharadwaj & Sreenivasan 2023 (PNAS)。局限：Re 必须低（线性嵌入截断要求），且为无噪声门级仿真而非真机。

Song：经典非线性步 + 量子压力泊松

图:混合方案的分工——交错网格上经典机推进动量方程并算中间速度,量子机用变分求解器解带预条件的压力泊松,迭代至收敛(来源:QC038)

Song 等针对 NISQ 硬件做了完整的不可压 NS 求解器：经典设备做非线性步（动量方程），量子设备用 VQLS 解压力泊松方程。三项工程化贡献：多重网格/ILU 预条件把变分代价地貌的局部极小压平（预条件后地貌明显更可训练）；HTree 读出首次把实值问题的量子态读出复杂度做到对比特数线性并用于物理问题；无噪仿真在 $100\times 100$ 网格顶盖驱动方腔（Re=100）上对齐 Ghia 基准，IBM 超导真机（经噪声适配训练）给出高保真结果Song et al. 2024 (arXiv)。该路线的哲学与 QFlowS 互补：与其嵌入线性化，不如让经典机做它擅长的非线性。

本源框架：SUB-HHL / SUB-VQLS

本源量子团队把问题定位在工业 CFD 工作流：以 SU2 为宿主求解器，Newton 迭代产生的线性系统先经 Krylov 子空间降维（SUB-QLS：标准量子线性求解器嵌入子空间法、以迭代重启机制收敛），再交给 HHL（SUB-HHL）或 VQLS（SUB-VQLS）。此前用该法在近期超导机上解过 5043 维系统——当时最大的真机流体模拟。验证算例覆盖三个量级：无粘通道绕鼓包（二维可压 Euler，32 385 单元，JST 格式 + 隐式 Euler + ILU 预条件）；Ma 0.3、Re 1000 圆柱层流涡街（约 2.3 万单元，Strouhal 数 0.205 与经典值一致，阻力/升力时间历程对齐）；以及 CHN-F1 飞行器全机模型（Ma 0.6、Re $6.3\times 10^6$、SA 湍流模型、940 万单元）——量子解的 Mach 与压力等值线与经典 FGMRES 参考解重合Ye et al. 2024 (PoF)。

图:圆柱绕流(Re=1000)某时刻 Mach 数分布——底图为经典 FGMRES 结果,等值线为 SUB-HHL(或 SUB-VQLS)量子解,两者重合(来源:QC006)

Carleman 直接 NS 与各家汇总

对 NS 直接做 Carleman 嵌入（不经 LBM 表述）的优点是 Carleman 变量数大幅减少、线路深度相应下降；代价是 Carleman 矩阵结构更复杂，与”Re 对 Ma 之比”这一非线性度量纠缠后可能损害收敛——Sanavio–Succi 指出该方向的详细分析仍在进行Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)。相关的端到端资源与有界优势分析见nonlinear-pde-quantum。

方法	方程形式	量子内核	演示规模	主要局限
Gaitan 2020	一维可压 NS 守恒形式，FD → 非线性 ODE	Kacewicz ODE + QAEA	喷管 31/61 格点、1400 步	oracle 实现留经典机；一维
QFlowS 2023	线性嵌入（Carleman 型）截断系统	门级 HHL / LCU QLSA + QPP	Poiseuille/Couette，$N=10$，7–14 比特	低 Re；无噪仿真
Song 2024	不可压 NS，经典动量步 + 量子泊松	VQLS + 多重网格预条件 + HTree 读出	方腔 $100\times 100$（仿真）、4 比特真机	每步读出累积；NISQ 规模
本源 2024	Euler/NS/RANS，Newton 线性系统降维	SUB-HHL / SUB-VQLS	940 万单元（仿真器内）	子空间法经典执行；仿真验证
Carleman 直接 NS	NS 直接 Carleman 嵌入	QLSA	理论阶段	矩阵复杂、收敛性未证明

延伸阅读

• quantum-vorticity-streamfunction
• quantum-poisson-solver
• carleman-linearization
• hybrid-quantum-classical
• nisq-experiments
• benchmarks-quantum-cfd