乘法是量子算术里最”宽”也最贵的一个原语：加法是 个比特上的线性规模线路，乘法要处理 位的部分积展开，而它又是模乘、模幂、因子分解等算法的内核。因此这一卷的重点不是罗列乘法器名字，而是回答三个问题：每个族把”乘法”降到了什么子问题上、为了可逆性额外付了多少辅助比特、这些数字在什么口径下才可以互相比较。
本卷从最朴素也最不容易做错的教科书乘法器开始——它是所有其他族的共同地基，也是检查 Karatsuba 递归是否正确的参照。然后进入Karatsuba：3 次半位宽乘法替代 4 次，换来 的门数与更浅的进位链；结构化乘法器则覆盖指数编码、RNS 分布式、QFT 乘加这几类绕开宽度平方的思路。就地乘法单独立章，因为”把递归结果直接累加进输出子区间”是空间复杂度的关键手段。最后资源对比给出口径统一后的横向表——包括一个必须承认的事实：不同论文报的数字多数不能直接比。
| 词条 | 读完能回答 |
|---|---|
| 量子乘法总览 | 可逆乘法器由哪几类部件拼成；为什么辅助比特账比门数更能区分乘法器的优劣；乘法在 Shor、QFT 加法器与振幅估计里各自扮演什么角色。 |
| 教科书乘法器 | 经典竖式乘法转成可逆线路的逐位对应关系；受控加法器为什么是唯一的基本块；无进位输出与辅助比特回收怎么做。 |
| Karatsuba 乘法器 | 3 次半位宽乘法怎么替代 4 次； 三个子区间分别对应什么；为什么交叉项需要 ；空间从 到 再到 是怎么做到的。 |
| 结构化乘法器 | 常量乘法器为什么能省掉大量 T 门；指数编码乘法器把 比特乘法压到 根线是怎么回事；RNS 分布式乘法与 QFT 乘加各自换来了什么、代价是什么。 |
| 就地乘法 | out-of-place 与半就地（in-place）的差别；“递归直接累加进输出子区间”如何避免存储与反计算中间结果；就地对辅助比特账意味着什么。 |
| 乘法资源对比 | 为什么各篇论文报的 T 数、深度、比特数不能直接比；用 Azure Resource Estimator 做跨平台对比的口径是什么；哪些数字有出处、哪些只是渐近记号。 |