变分量子线性求解器（variational quantum linear solver, VQLS）把 改写成浅层拟设上的变分优化：量子电路只负责”制备候选解并测代价”，经典优化器负责调参——不需要相位估计、不要求长相干时间，因此成为 NISQ 时代量子 CFD 原型（泊松、对流扩散、线性化 NS 步）事实上的标准算法Bravo-Prieto et al. 2019 (arXiv)。其代价函数可证明的终止条件把条件数压力显式带入了 NISQ 时代。
代价函数推导
目标：找拟设 使 满足 。设 （ 为制备 的已知酉），定义有效哈密顿量
代价函数取归一化期望
由 Cauchy–Schwarz， 当且仅当 与 平行——代价的全局最小恰是线性系统解（在 、 有限的假设下）。 不要求 Hermitian：只需 的酉线性组合形式（Pauli 或 LCU 分解），稀疏阵均可展开成这种形状Bravo-Prieto et al. 2019 (arXiv)。
Hadamard 测试测期望
是酉算子的乘积链，期望 逐项由 Hadamard 测试测量：辅助比特置叠加，以辅助为控制依次执行 、、、、，测辅助比特的 分量即得该项的实部/虚部；按系数 加权求和得 。门深由最长酉链决定——浅层拟设下整个流程适配近期硬件。
全局 vs 局域代价与贫瘠高原
全局代价 （ 作用于全部比特）在 大时出现贫瘠高原（barren plateau）：代价对参数的梯度方差随比特数指数衰减，优化不可训练。VQLS 的对策是局域代价 ——把 换成单比特投影 的组合，
它与 同零点，但梯度可训练性大幅改善，代价是每项期望更小、需要更多测量轮次。数值证据支持到 （即 线性系统）仍可收敛Bravo-Prieto et al. 2019 (arXiv)。
可操作的终止条件是 VQLS 的理论亮点：证明了 的下界关系——当代价降到 以下即保证解精度 。启发式标度证据显示最差线性于 、对数于 、polylog 于 ；但代价函数本身的经典估计有复杂性论证支撑的困难，收敛保证是启发式的Bravo-Prieto et al. 2019 (arXiv)。
CFD 实践
- 混合框架中的 SUB-VQLS：本源量子团队的 CFD 混合框架把非线性步（Newton 迭代）留给经典、每个 Newton 步的线性解交给变分线性求解器子程序，在泊松/对流扩散基准上验证全流程Ye et al. 2024 (PoF)；
- 真机性能：Ali–Kabel 对真机 VQLS 解泊松方程的性能研究给出硬件噪声下的实际精度画像，与理想仿真差距是 NISQ 评测的重要参照Ali & Kabel 2024 (PRApplied)；
- 噪声硬件上的 NS：Song 等的顶盖驱动方腔方案用经典机动量步 + VQLS 解压力泊松，并以多重网格预处理避免变分局部极小、降低量子资源——预条件思想在变分路线同样成立Song et al. 2024 (arXiv)。
与容错路线（HHL/QSVT）相比，VQLS 交换了瓶颈：不再苛求 、 的相干深度，但引入训练启发式、测量开销与拟设表达力问题（见variational-pde-solver、nisq-experiments）；条件数压力则以 终止条件与预处理需求的形式保留。