Carleman 线性化

Carleman 线性化把有限维非线性 ODE 精确嵌入为无穷维线性 ODE——非线性被搬运到维度里而不是被近似掉。对只能做线性运算的量子计算机，它是 Navier–Stokes、Lorenz、SIR 这类二次非线性系统进入 QLSA 流水线的标准入口：嵌入 → 截断 → 前向 Euler → 大型稀疏线性系统 → 量子求解。Liu–Kolden–Krovi 等的 PNAS 定理给出了这条路线完整的复杂度账与收敛条件Liu et al. 2021 (PNAS)，而截断何时失效（高雷诺数）是后续文献争论的焦点。

嵌入定理推导

考虑耗散二次非线性系统

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=F_2(u\otimes u)+F_{1}u+F_0(t),$$

NS 方程（对流项 $u\cdot \nabla u$）、Lorenz、logistic、SIR 都属此类；更高次多项式可引入辅助变量归化为二次。定义张量幂变量 $v_j=u^{\otimes (j+1)}$（$v_0=u$，$v_1=u\otimes u$，……），对 $v_j$ 求导、对”哪个因子被求导”求和：

$$\frac{\mathrm{d}{v}_j}{\mathrm{d}t}=\sum _{l=0}^j{u}^{\otimes l}\otimes \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\otimes u^{\otimes (j-l)}=j{F}_2{v}_{j+1}+(j+1)F_1{v}_j+(j+1)F_0{v}_{j-1},$$

（对称化系数并简记后）得无穷维线性系统 $\mathrm{d}V/\mathrm{d}t=CV$，$V=(v_0,v_1,v_2,\dots )$，$C$ 为分块三对角结构：$F_2$ 块把层级抬升（$v_j\to v_{j+1}$）、$F_1$ 块留在本层、$F_0$ 块降层。原始解就是 $V$ 的第一块——非线性动力学被无损地编码进一个线性流。

截断阶数与误差

实践必须截断：保留 $V_{N_C}=(v_0,\dots ,v_{N_C-1})$，丢弃与 $v_{N_C}$ 的耦合。误差行为由非线性与线性流之比控制，理论参数

$$R=\frac{\Vert F_2\Vert \Vert F_0\Vert }{\Vert F_1{\Vert }^2}$$

（非线性强度/耗散强度的量纲组合）刻画：$R$ 小则高阶矩快速衰减、截断误差随 $N_C$ 指数下降；$R$ 大则高阶矩不可忽略，截断系统不再逼近原系统。logistic 方程是最小实验台——$R{x}_0<1$（衰减情形）时逐阶单调改善，增长情形则收敛时窗逐阶外推但仍有限（见图）。

图:logistic 方程上 Carleman 线性化随截断阶数提升的收敛行为——衰减(Rx₀<1)情形高阶截断单调逼近精确解;增长情形收敛时窗有限,提示对不稳定动力学的限制(来源:QC042)

Liu–Kolden–Krovi–Loureiro–Trivisa–Childs 复杂度定理

PNAS 2021 结果的三段式Liu et al. 2021 (PNAS)：

1. 收敛定理：$R<1$ 时截断到 $N_C$ 阶的误差可控，且给出显式界；
2. 算法：截断系统经前向 Euler 时间离散后是大型稀疏线性系统，交给 QLSA（HHL 类）求解，输出解的量子态；
3. 复杂度（Theorem 1）：$R<1$ 时总复杂度 $s\cdot T^2\cdot q\cdot \mathrm{poly}(\log T,\log n,\log 1/ϵ)/ϵ$（$s$ 稀疏度、$T$ 时间、$n$ 空间自由度、$q$ 解衰减参数）——网格点数 polylog、时间 $T^2$，对此前多副本变分方法随时间指数（$O(1/{ϵ}^T)$ 量级）的依赖是指数改善。

两个如实的限制：齐次方程的解必然指数衰减，归一化后 $q$ 因子使长时积分渐近低效；受迫（非齐次）方程则可长期高效。配套下界（Theorem 2）：$R\ge \sqrt{2}$ 时任何量子算法都不可能高效求解最坏情形二次 ODE——强非线性在 oracle 模型下不可解，“先线性化再量子化”并非免费午餐Liu et al. 2021 (PNAS)。

数值演示同样值得记录：受迫粘性 Burgers 方程在 $\mathrm{Re}=20$、$n_x=16$、$n_t=4000$ 时 Carleman 参数 $R=43.59\gg 1$，增大截断阶误差仍指数下降——$R<1$ 的理论条件远非实践边界（详见quantum-burgers）Liu et al. 2021 (PNAS)。

与其它路线的关系

• Carleman–LBM：把嵌入作用在格子玻尔兹曼方程上，非线性强度由马赫数而非雷诺数控制，截断收敛性显著更好——这是 Succi 学派的主线，见carleman-qlbm与收敛性分析carleman-convergence-analysis（Itani–Succi 给出截断阶–Re 关系与误差随阶指数下降的证据Itani et al. 2022 (Fluids)）；
• Carleman–Grad：在 Grad 广义流体力学表述上做嵌入，收敛区间介于 NS 与 LBM 之间Sanavio et al. 2024 (arXiv)；
• 移位 Carleman 与端到端账本：PsiQuantum–Airbus 的分析批判高 Re 时截断误差反弹、条件数标度不利，并提出谱受控的移位版嵌入——有界量子优势的结论见nonlinear-pde-quantum；
• 组合 Schrödinger 化：Carleman 产物是（耗散、非酉的）线性系统，可交由 Schrödinger 化做酉演化（见schrodingerization）。

延伸阅读

• schrodingerization
• carleman-qlbm
• carleman-convergence-analysis
• nonlinear-pde-quantum
• quantum-burgers